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平成29年度 大阪府立高校入試 数学 C問題 大問2

大阪府立高校入試

(1)
\triangle{\rm{EFB}}と\triangle{\rm{GEB}}において
\angle{\rm{EBF}}=\angle{\rm{GBE}}(共通)
\angle{\rm{FEB}}=45^{\circ}
\rm{AB}=\rm{AE}=\rm{AG}より、3点B, E, Gは点Aを中心とする円周上の点である
弧BEについて、円周角の定理より、
\angle{\rm{BGE}}=\dfrac{1}{2}\angle{\rm{BAE}}=45^{\circ}
よって、\angle{\rm{FEB}}=\angle{\rm{BGE}}
2組の角がそれぞれ等しいから、
\triangle{\rm{EFB}}∽ \triangle{\rm{GEB}}

(2)
①
\triangle{\rm{EFB}}∽ \triangle{\rm{GEB}}より、
\rm{EF}:\rm{GE}=\rm{FB}:\rm{EB}
\rm{EF}=\dfrac{3}{2},
\rm{FB}=\sqrt{\rm{AB}^2+\rm{AF}^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2},
\rm{EB}=3\sqrt{2}より、
\rm{GE}=\dfrac{3}{2}\times 3\sqrt{2}\times \dfrac{2}{3\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}

②
\triangle{\rm{GHE}}∽ \triangle{\rm{GEA}}より、
\rm{GH}:\rm{GE}=\rm{GE}:\rm{GA}
\rm{GE}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5},
\rm{GA}=\rm{EA}=3より、
\rm{GH}=\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\right)^2\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{5}

③
GHの中点をMとし、MEをつなぐと、
\rm{ME}=\sqrt{\rm{HE}^2-\rm{MH}^2}=\dfrac{9}{5}
GH, CDを延長し、その交点をPとおくと、
\rm{PD}=\rm{ME}=\dfrac{9}{5}
\rm{HP}=\sqrt{\rm{HD}^2-\rm{PD}^2}=\dfrac{12}{5}
(四角形\rm{GCDH}) \\ =\triangle{\rm{GCP}}-\triangle{\rm{HDP}} \\ =\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{18}{5}\times \dfrac{24}{5}-\dfrac{12}{5}\times \dfrac{9}{5}\right)=\dfrac{162}{25}