平成31年度大阪府立高校入試数学 C問題大問1

(1)
$x=5-2\sqrt{3}$ より
$(x-5)^2=(-2\sqrt{3})^2=12$
$x^2-10x=12-25=-13$
よって $x^2-10x+2=-13+2=-11$

(2)
$x-y+1=3x+7$ より $y=-2x-6$
$3x+7=-2y$ に代入して $3x+7=-2(-2x-6), x=-5$
$y=-2\times(-5)-6=4$
よって $x=-5, y=4$

(3)
$a+2b$ をひとかたまりとみて
$（与式）=\{(a+2b)-1\}\{(a+2b)+2\}=(a+2b-1)(a+2b+2)$

(4)
$\sqrt{31}=\sqrt{\dfrac{124}{4}}$
$\dfrac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}=\sqrt{32}=\sqrt{\dfrac{128}{4}}$
$5.5=\dfrac{11}{2}=\sqrt{\dfrac{121}{4}}$
よって $5.5 < \sqrt{31} < \dfrac{8}{\sqrt{2}}$
→オ

(5)

$\dfrac{2b}{a}$	$b=1$	$b=2$	$b=3$	$b=4$	$b=5$	$b=6$
$a=1$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$a=2$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$a=3$	$\dfrac{2}{3}$	$\dfrac{4}{3}$	$2$	$\dfrac{8}{3}$	$\dfrac{10}{3}$	$4$
$a=4$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$\dfrac{3}{2}$	$2$	$\dfrac{5}{2}$	$3$
$a=5$	$\dfrac{2}{5}$	$\dfrac{4}{5}$	$\dfrac{6}{5}$	$\dfrac{8}{5}$	$2$	$\dfrac{12}{5}$
$a=6$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{2}{3}$	$1$	$\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{5}{3}$	$2$

上記の表より求める確率は $\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$

(6)
初めに袋に入っていた碁石の黒と白の割合は,
初めに取り出した40個の碁石の色の割合から
$32:8=4:1$
100個の白色の碁石を追加した後の碁石の黒と白の割合は,
白色の碁石を追加した後に抽出した40個の碁石の色の割合から
$28:12=7:3$
追加した白色の碁石は100個であり,
$4:1=560:140, 7:3=560:240$ より
袋の中に初めに入っていた黒色の碁石の個数はおよそ560個と推定できる

(7)
$a=2n-1, b=2n+1$ （ $n$ は自然数）とおける
このとき $0 < 2n-1 < 2n+1 < 100$ より $0 < n < 50$
$b^2-a^2=(b+a)(b-a)=8n$ が100の倍数となるのは
$n$ が25の倍数となるとき
これを満たすのは $n=25$ のみであり, このとき
$a=2\times25-1=49, b=2\times 25+1=51$

(8)
$\rm{A}(t, 3t+2), \rm{B}(t, 0)$ より
$\rm{AB}=3t+2$
$\rm{DE}=\rm{AB}$ より $\rm{D}$ の $x$ 座標は
$t-(3t+2)=-2t-2$ と表せる
よって
$\rm{D}\left(-2t-2, \dfrac{(t+1)^2}{2}\right)$
$\rm{C}\left(2t+2, \dfrac{(t+1)^2}{2}\right)$
$\rm{E}\left(t, \dfrac{(t+1)^2}{2}\right)$
$\rm{EC}=\rm{CF}$ より
$2t+2-t=\dfrac{(t+1)^2}{2}, t=\pm \sqrt{3}$
$t > 0$ より $t=\sqrt{3}$

ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成31年度大阪府立高校入試数学 C問題大問1