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平成31年度 大阪府立高校入試 数学 B問題 大問4

大阪府立高校入試

(1)
①
ア DH//AE, イ AB⊥AE, ウ CG//AE
よって, ねじれの位置にあるのはBC
→エ

②
\rm{EG}=\sqrt{\rm{EH}^2+\rm{GH}^2}
=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}

③
\rm{EC}=\sqrt{\rm{CG}^2+\rm{GH}^2+\rm{HE}^2}
=\sqrt{4^2+4^2+4^2}=4\sqrt{3}
\rm{IF}=\sqrt{\rm{DH}^2+\rm{HG}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}
よって求める面積は
\dfrac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{2}=8\sqrt{6}

(2)
①
\rm{EF}=\sqrt{4^2+(4-2)^2}=2\sqrt{5}
\rm{FH}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}
\rm{EJ}=xとおくと,
\rm{HJ}^2=\rm{EH}^2-\sqrt{EJ}^2=\rm{FH}^2-\rm{FJ}^2
4^2-x^2=(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5}-x)^2
x=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}
よって\rm{EJ}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}

②
\rm{FJ}=\rm{EF}-\rm{EJ}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}
\rm{FJ}:\rm{FE}=3:5より
\triangle{\rm{FGJ}}=\dfrac{1}{2}\times 2\times 4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{5}
よって, 求める体積は
\dfrac{1}{3}\times \dfrac{12}{5}\times 4=\dfrac{16}{5}