平成31年度大阪府立高校入試数学 C問題大問3

(1)
①
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$\rm{P}$ を $\rm{A}$ から辺 $\rm{DE}$ にひいた垂線と辺 $\rm{DE}$ との交点とすると
$\rm{AP}=\sqrt{\rm{AD}^2-\rm{DP}^2}=\sqrt{8^2-1^2}=3\sqrt{7}$
よって
$\triangle{\rm{AEB}}=\dfrac{1}{2}\times 3\times 3\sqrt{7}=\dfrac{9\sqrt{7}}{2}$

②
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$\rm{HG}//\rm{AE}$ より
$\rm{AH}:\rm{AD}=\rm{EG}:\rm{ED}$
$\rm{AH}:8=3:5$
よって
$\rm{AH}=\dfrac{24}{5}$

③
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$\rm{Q}$ を $\rm{H}$ から辺 $\rm{AC}$ にひいた垂線と辺 $\rm{AC}$ との交点とする
$x=\rm{AQ}$ として
$\rm{DQ}^2=\rm{AD}^2-\rm{AQ}^2=\rm{DC}^2-\rm{QC}^2$
$64-x^2=16-(8-x)^2$
これを解いて
$x=7$
よって
$\rm{DQ}=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15}$
$\triangle{\rm{AIH}}∽\triangle{\rm{AQD}}$ より
$\rm{IH}:\rm{QD}=\rm{AH}:\rm{AD}$
$\rm{IH}:\sqrt{15}=\dfrac{24}{5}:8=3:5$
よって
$\rm{IH}=\dfrac{3\sqrt{15}}{5}$

(2)
①
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$\rm{R}$ を辺 $\rm{DE}$ 上に $\rm{AR}//\rm{BE}$ となるようにとり
$\rm{AR}$ と $\rm{JK}$ の交点を $\rm{S}$ とおくと
$\rm{DR}=\rm{DE}-\rm{AB}=5-3=2$
$\rm{JS}:\rm{DR}=\rm{AJ}:\rm{AD}$
$\rm{JS}:2=2:8=1:4$
よって
$\rm{JS}=\dfrac{1}{2}$
したがって
$\rm{JK}=\rm{JS}+\rm{AB}=\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{7}{2}$

②
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$\rm{T}$ を $\rm{J}$ から辺 $\rm{DE}$ にひいた垂線と辺 $\rm{DE}$ との交点とすると
$\rm{DT}:\rm{DP}=\rm{DJ}:\rm{DA}$
$\rm{DT}:1=6:8=3:4$
よって $\rm{DT}=\dfrac{3}{4}$

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$\rm{CD}$ の中点を $\rm{M}$ とし
$\rm{U}$ を $\rm{J}$ から辺 $\rm{CD}$ にひいた垂線と辺 $\rm{CD}$ との交点とすると
$\rm{AM}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}$
$\rm{DU}:\rm{DM}=\rm{JU}:\rm{AM}=\rm{DJ}:\rm{DA}$
$\rm{DU}:2=\rm{JU}:2\sqrt{15}=6:8=3:4$
よって $\rm{DU}=\dfrac{3}{2}, \rm{JU}=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}$

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$\rm{V}$ を $\rm{J}$ から長方形 $\rm{CDEF}$ にひいた垂線と長方形 $\rm{CDEF}$ との交点とすると
$\rm{UV}=\rm{DT}=\dfrac{3}{4}$
$\rm{JV}=\sqrt{\rm{JU}^2-\rm{UV}^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{59}}{4}$

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$\rm{W}$ を $\rm{K}$ から辺 $\rm{DE}$ にひいた垂線と辺 $\rm{DE}$ との交点,
$\rm{X}$ を $\rm{K}$ から辺 $\rm{CF}$ にひいた垂線と辺 $\rm{CF}$ との交点,
$\rm{Y}$ を $\rm{J}$ から辺 $\rm{CF}$ にひいた垂線と辺 $\rm{CF}$ との交点とする
$（立体\rm{JK-CDEF})=（立体\rm{J-CDPY}）+（立体\rm{JK-PWXY}）+（立体\rm{K-WEFX}）$
$=（立体\rm{JK-PWXY}）+2（立体\rm{J-CDPY}）$ に分解する
$（立体\rm{JK-PWXY}）$
$=\dfrac{1}{2}\times 4\times \dfrac{3\sqrt{59}}{4}\times \left(5-2\times \dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{21\sqrt{59}}{4}$