2020年度　センター試験　数学II　第2問

(1)
$y =x^2+2x+1$ より,
$y' = 2x +2$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = (2t+2) (x-t) + t^2+2t+1$
$=(2t+2)x-t^2+1$

$f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ より,
$f'(x) = 2x -2(2a-1)$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = f'(s) (x-s) +f(s)$
$= \{ 2s-2(2a-1) \} (x-s) + s^2 -(4a-2)s +4a^2 +1$
$= (2s-4a+2)x -s^2 + 4a^2 +1$

係数を比較して,
$2t+2 = 2s-4a+2 \Leftrightarrow s = t+2a$
$-t^2+1 = -s^2+4a^2+1 \Leftrightarrow s^2 -t^2-4a^2 =0$

これを解いて,
$t = 0, s=2a$
$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = 2x+1$

→ア=2, イ=2, ウ=1, エ=2, オ=4, カ=2, キ=4, ク=1, ケ=0, コ=2, サ=2, シ=1

(2)
$y =x^2+2x+1$ と $y=f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ を解くと,
$(x, y) =(a, a^2+2a+1)$

f:id:coco_math_1801:20200121212755j:plain:w300

$C$ と $\ell$ の交点は,
$y=x^2+2x+1$ と $y=2x+1$ を解いて,
$(x, y) = (0, 1)$

$\therefore S = \displaystyle \int_{0}^{a} \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx$
$= \displaystyle \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} = \dfrac{a^{3}}{3}$

→ス=a, セ=3, ソ=3

(3)
f:id:coco_math_1801:20200121213414j:plain:w300
$C, D$ の交点は $(a, a^2+2a+1)$ より,
$a > 1$ のとき,
$T = \displaystyle \int_{0}^{1} \{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ のとき,
$\displaystyle T = \int_{0}^{a}\{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx$
$\displaystyle +\int_{a}^{1}[ \{ x^2-(4a-2)x+4a^2+1 \} - (2x+1) ] dx$
$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} + \left[ \dfrac{1}{3}(x-2a)^{3} \right]_{a}^{1}$
$= -2a^3 + 4a^2 -2a + \dfrac{1}{3}$

→タ=1, チ=1, ツ=3, テ=2, ト=4, ナ=2, ニ=1, ヌ=3

(4)
$U = 2T-3S$
$= 2\left(-2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3}\right) -3\cdot \dfrac{1}{3}a^3$
$= -5a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{dU}{da} = -15a^2 +16a -4$
$=-(3a-2)(5a-2)$
$\therefore U$ は $a=\dfrac{2}{3}$ で最大値
$U=-5\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+8\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
$= \dfrac{2}{27}$ をとる

→ネ=2, ノ=3, ハ=2, ヒフ=27

ココマス

数学・算数関連を気ままに

2020年度　センター試験　数学II　第2問