2020年度　センター試験　数学II　第1問

〔1〕
(1)
加法定理より,
$\sqrt{3}\cos {\left(\theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$= \sqrt{3} \cos {\theta} \cos {\dfrac{\pi}{3}} +\sqrt{3} \sin{\theta} \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\therefore \sin{\theta} > \sqrt{3} \cos{\left( \theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} > \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} < 0$
$\sin{\left( \theta + \dfrac{\pi}{3} \right)} < 0$
$\Leftrightarrow \pi < \theta + \dfrac{\pi}{3} < 2\pi$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\pi < \theta < \dfrac{5}{3}\pi$

→ア=3, イ=2, ウ=3, エ=3, オ=2, カ=3, キ=5, ク=3

(2)
解と係数の関係より,
$\sin{\theta} + \cos{\theta} = \dfrac{35}{25} =\dfrac{7}{5}$
$\sin{\theta} \cos{\theta} = \dfrac{k}{25}$
$\therefore k = 25\cdot \sin{\theta}\cos{\theta}$
$=25 \cdot \dfrac{\left( \sin{\theta} + \cos{\theta} \right)^2-1}{2}$
$= 25 \cdot \dfrac{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2-1}{2}$
$= 12$

このとき,
$25x^2 -35x +k = 0$
$\Leftrightarrow (5x-3)(5x-4) =0$
$x = \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}$

$\therefore \sin{\theta} \geqq \cos{\theta}$ のとき,
$\sin{\theta} = \dfrac{4}{5}, \cos{\theta} = \dfrac{3}{5}$

このとき, $\sin{\dfrac{\pi}{4}} < \sin{\theta} < \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$\therefore \dfrac{\pi}{4} \leqq \theta < \dfrac{\pi}{3}$

→ケコ=12, サ=4, シ=5, ス=3, セ=5, ソ=3

〔2〕
(1)
$t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} = -3$ のとき,
$t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} = \left(t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) ^2 +2$
$= 11$

$t^{\frac{1}{3}} + t^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} +2}$
$\sqrt{13}$

$t - t^{-1}$
$= \left( t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) \left( t^{\frac{2}{3}} + 1 + t^{-\frac{2}{3}} \right)$
$= -3 \cdot 12 = -36$

→タチ=11, ツテ=13, トナニ=-36

(2)
$\log_{3}{\left(x\sqrt{y} \right)}$
$= \log_{3}{x} +\dfrac{1}{2}\log_{3}{y}$
$\therefore \log_3{\left(x\sqrt{y} \right)} \leqq 5$
$\Leftrightarrow 2X + Y \leqq 10$

$\log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}}$
$=\dfrac{\log_{3}{y} - 3\log_{3}{x}}{\log_{3}{81}}$
$= -\dfrac{3\log_{3}{x} - \log_{3}{y}}{4}$
$\therefore \log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}} \leqq 1$
$\Leftrightarrow 3X-Y \geqq -4$

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上図より, $Y$ のとり得る最大の整数の値は $7$

$Y = 7$ のとき,
$2X + Y \leqq 10 \Leftrightarrow X \leqq \dfrac{3}{2}$
$3X-Y \geqq -4 \Leftrightarrow X \geqq 1$
$\therefore 1 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 3 \leqq x \leqq 3^\frac{3}{2}$
これを満たす最大の整数の値は
$x = 5$

→ヌ=2, ネノ=10, ハ=3, ヒフ=-4, ヘ=7, ホ=5

ココマス

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2020年度　センター試験　数学II　第1問