2020年度　センター試験　数学II　第3問

(1)
$\ell$ の方程式は,
$y=mx+6$
円 $C$ の方程式は,
$x^2 + (y-2)^2 = 2^2$
$\Leftrightarrow x^2 +(y-2)^2+4$

→ア=6, イ=2, ウ=4

(2)
$\ell$ と $C$ が接するとき,
$y=mx+6$ を $x^2+(y-2)^2=4$ に代入して,
$x^2+(mx+4)^2=4$
$\Leftrightarrow (m^2+1)x^2+8mx+12=0$ が重解をもつので,
判別式を $D$ とおくと,
$D/4 =(4m)^2-12(m^2+1) = 4(m^2-3)=0$
$\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$

$m=-\sqrt{3}$ のとき,
$x = -\dfrac{4m}{m^2+1} = \sqrt{3}$
$y = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} +6 = 3$
よって, 接点の座標は
$\left(\sqrt{3}, 3 \right)$

→エ=3, オ=3, カ=3

(3)
$\ell$ と $C$ が異なる2点で交わるとき,
$D/4=4(m^2-3)>0$
$\Leftrightarrow -\sqrt{3} < m, m < \sqrt{3}$
これを満たす最小の正の整数は
$m = 2$

→キ=2

(4)
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$\ell$ が $(3, 0)$ を通るとき,
$0 = m \cdot 3 + 6$
$\Leftrightarrow m = -2$
$y=-2x+6$ を $x^2+(y-2)^2=4$ に代入して,
$x^2+(-2x+4)^2=4$
$\Leftrightarrow 5x^2-16+12=0$
$\Leftrightarrow (5x-6)(x-2)=0$
$x=\dfrac{6}{5}, 2$
$y=-2\cdot \dfrac{6}{5}+6 = \dfrac{18}{5}, y = -2\cdot 2 + 6 =2$
$\therefore D \left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{18}{5} \right), E \left(2, 2\right)$