2020年度　センター試験　数学I　第2問

〔1〕
(1)
$x^{2}+ax+b$ の判別式を $D$ とおくと,
$D = a^{2}-4b$
0→ $F$ は, 下に凸の放物線
1→ $F$ は, 下に凸の放物線
2→ $a^{2} > 4b \Leftrightarrow D > 0$ より, $F$ と $x$ 軸は2点共有点をもつ
3→ $a^{2} < 4b \Leftrightarrow D > 0$ より, $F$ と $x$ 軸は共有点をもたない
4→ $a^{2} > 4b$ のとき, $F$ と $y$ 軸が共有点をもたないとは限らない
5→ $a^{2} < 4b$ のとき, $F$ と $y$ 軸が共有点をもたないとは限らない

→ア, イ = 1, 3

(2)
$y = x^{2}+2x-1 = (x+1) ^{2} -2$ より,
$x = 2$ のとき最大値 $y = 7$
$x=-1$ のとき最小値 $y = -2$ をとる

→ウ=6

〔2〕
(1)
$G$ は2点 $(c, 0), (c+4, 0)$ を通るから,
$y=(x-c)\{x-(c+4)\}=x^2-2(c+2)x+c(c+4)$

→エ=2, オ=4

$(x, y)=(3, k)$ を代入すると,
$k=(3-c)\{3-(c+4)\}=(c-3)(c+1) = (c-1)^{2} -4$
よって, $c$ が実数全体を動くとき,
$k$ のとり得る最小値は $-4$

また, $-3 \leqq k \leqq 0$ のとき,
$-3 \leqq (c-3)(c+1) \leqq 0$
$\Leftrightarrow -1 \leqq c \leqq 0, 2 \leqq c \leqq 3$

→カ=1, キ=4, クケ=-4, コ=1, サ=0, シ=2, ス=3

(2)
$G$ が $(3, -1)$ を通るとき,
$-1=9-2(c+2)\cdot 3 +c(c+4)$
$\Leftrightarrow c^2 -2c -2 =0$
$\Leftrightarrow c=1\pm \sqrt{3}$
$2 \leqq c \leqq 3$ より, $c = 1 + \sqrt{3}$