2020年度　センター試験　数学I　第1問

〔1〕
(1)
$\ell$ の傾きは, $a^2-2a-8$ だから,
$a^2-2a-8 < 0$
$\Leftrightarrow (a+2)(a-4) < 0$
$\Leftrightarrow -2 < a < 4$
→アイ=-2, ウ=4

(2)
$(x, y) = (b, 0)$ を代入して,
$0=(a^2-2a-8)b+a$
$\Leftrightarrow b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$

$a > 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow -2 < a < 4$
$\therefore 0< a < 4$
$a\leqq 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow a < -2, a> 4$
$\therefore a < -2$

また, $a=\sqrt{3}$ のとき,
$(a+2)(a-4)=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-4)$
$=3-2\sqrt{3}-8=-(5+2\sqrt{3})$
$\therefore b = -\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}}$
$=\dfrac{(5-2\sqrt{3})\sqrt{3}}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3})}$
$=\dfrac{5\sqrt{3}-6}{13}$

→エ=0, オ=4, カキ=-2, ク=5, ケ=3, コ=6, サシ=13

(3)
$|f(1)+f(-1) |=2 |a | =1$
$\Leftrightarrow a = \pm \dfrac{1}{2}$
$a<0$ より,
$a= \dfrac{-1}{2}$

このとき,
$f(x) = \left\{ \left(-\dfrac{1}{2} \right)^{2} -2\cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) -8 \right\} x -\dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{27}{4}x -\dfrac{1}{2}$