2019年度　センター試験　数学I　第2問

(1)
$y=x^{2}+(2a-b)x+a^{2}+1$
$=x^{2}-2\left( \dfrac{b}{2}-a\right) x+a^{2}+1$
$={x-\left( \dfrac{b}{2}-a\right) }^2-\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1$
$\therefore \left(\dfrac{b}{2}-a, -\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1\right)$
→ア=2, イ=4, ウ=1

(2)
$G$ は下に凸の2次関数だから,
グラフ $G$ が $x$ 軸と共有点をもつのは
$-\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1\leqq 0$
$\Leftrightarrow b^{2}-4a-4\geqq 0$
$b>0$ より, $b\geqq 2a+\sqrt{(2a)^{2}-(-4)}=2a+2\sqrt{a^{2}+1}$
→エ=2, オ=2, カ=1

(3)
グラフ $G$ が $x$ 軸に接するとき
$b=2a+2\sqrt{a^{2}+1}$
これに $a=\sqrt{3}$ を代入して
$b=2\sqrt{3}+2\sqrt{3+1}=4+2\sqrt{3}$
グラフ $G$ と $x$ 軸との接点の $x$ 座標は
$\dfrac{b}{2}-a=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
このとき $y=(x-2)^{2}$ より
$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ において,
$y$ は $x=0$ のとき最大値 $y=2^{2}=4$ ,
$x=\sqrt{3}$ のとき最小値 $y=(\sqrt{3}-2)^{2}=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$ をとる
→キ=4, ク=2, ケ=3, コ=2, サ=4, シ=7, ス=4, セ=3