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2019年度　センター試験　数学I　第3問

センター試験

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余弦定理より,
\rm{AC}^{2}=\rm{AB}^{2}+\rm{BC}^{2}-2\cdot \rm{AB}\cdot \rm{BC}\cdot \cos{\rm{ABC}}
\Leftrightarrow (\rm{BC}-1)(\rm{BC}-3)=0
\Leftrightarrow \rm{BC}=1, 3
→ア=1, イ=3

(1)
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\rm{BD}=\rm{BC}\cos{\rm{ABC}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}
\angle{\rm{ADC}}=90^{\circ}より\rm{AC}は外接円の直径
\therefore \angle{\rm{AEB}}=90^{\circ}
\therefore \rm{BE}=\rm{AB}\cos{\rm{ABC}}=2
→ウ=3, エ=2, オ=2, カキ=90, ク=2

(2)
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正弦定理より,
\rm{BO}=\dfrac{\rm{AC}}{2\sin{\angle{\rm{ABC}}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}
\triangle{\rm{BDE}}∽\triangle{\rm{BCA}}より,
\angle{\rm{BCA}}=\angle{\rm{BDE}}
\rm{DE}=\rm{CA}\cdot \dfrac{\rm{BE}}{\rm{BA}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}
円周角の定理より,
\angle{\rm{ACP}}=\angle{\rm{ABP}}
\rm{BP}は外接円の直径だから,
\angle{\rm{BCP}}=90^{\circ}
\angle{\rm{BQD}}=180^{\circ}-\angle{\rm{BDE}}-\angle{\rm{ABC}}=180^{\circ}-\angle{\rm{BCA}}-\angle{\rm{ACP}}
=180^{\circ}-\angle{\rm{BCP}}=90^{\circ}
\therefore \triangle{\rm{BOD}}+\triangle{\rm{BOE}}=\dfrac{1}{2}\cdot \rm{BO}\cdot \rm{DE}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{5}{4}
→ケコ=10, サ=2, シ=1, スセ=10, ソ=2, タ=7, チツ=90, テト=90, ナ=5, ニ=2