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数学・算数関連を気ままに

2019年度　センター試験　数学I・数学A　第5問

センター試験

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\triangle{\rm{ABC}}の内接円の半径をrとおくと,
\triangle{\rm{ABC}}=\dfrac{1}{2}(4+7+5)\cdot r=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5}より,
r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}
→ア=6, イ=2

内接円と辺\rm{BC}との接点を\rm{G}とする
\triangle{\rm{ADI}}\equiv \triangle{\rm{AEI}}より,
\rm{AD}=\rm{AE}
同様に\rm{BD}=\rm{BG}, \rm{CG}=\rm{CE}
よって, \rm{BC}=\rm{BG}+\rm{CG}=\rm{BD}+\rm{CE}
=\rm{AB}-\rm{AD}+\rm{AC}-\rm{AE}=\rm{AB}+\rm{AC}-2\rm{AD}
\therefore \rm{AD}=\dfrac{\rm{AB}+\rm{AC}-\rm{BC}}{2}=\dfrac{4+5-7}{2}=1
\triangle{\rm{ADE}}において余弦定理より
\rm{DE}^2=\rm{AD}^2+\rm{AE}^2-2\cdot\rm{AD}\cdot \rm{AE}\cdot \cos{\angle{\rm{BAC}}}=1+1-2\cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{12}{5}
\therefore \rm{DE}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}
→ウ=1, エ=2, オカ=15, キ=5

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チェバの定理より,
\dfrac{\rm{AD}}{\rm{DB}}\cdot\dfrac{\rm{BQ}}{\rm{QC}}\cdot\dfrac{\rm{CE}}{\rm{EA}}=1
\therefore \dfrac{\rm{BQ}}{\rm{CQ}}=\dfrac{\rm{BD}\cdot \rm{AE}}{\rm{AD}\cdot \rm{CE}}=\dfrac{3\cdot 1}{1\cdot 4}=\dfrac{3}{4}
\therefore \rm{BQ}=\rm{BC}\cdot \dfrac{3}{3+4}=7\cdot \dfrac{3}{7}=3
→ク=3, ケ=４, コ=3

\rm{BD}=\rm{BQ}より, \rm{Q}は内接円と辺\rm{BC}との接点
\therefore \angle{\rm{BQI}}=90^{\circ}より,
\rm{IQ}=r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}
→サ=6, シ=2
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\rm{DE}の中点を\rm{M}とおくと,
\rm{ID}=\rm{IE}より, \angle{\rm{DIM}}=\angle{\rm{EIM}}, \angle{\rm{DMI}}=90^{\circ}
円周角の定理より,
\angle{\rm{DFE}}=\angle{\rm{DQE}}=\dfrac{1}{2}\angle{\rm{DIE}}=\angle{\rm{DIM}}
\sin{\angle{\rm{DIM}}}=\dfrac{\rm{DM}}{\rm{DI}}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}
\cos{\angle{\rm{DIM}}}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}
\therefore \cos{\angle{\rm{DFE}}}=\cos{\angle{\rm{DIM}}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}
→スセ=15, ソ=5