2018年度　センター試験　数学II　第1問

〔1〕
(1) $1$ ラジアンとは，半径 $1$ ，弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ
→ア＝2

(2) $144^{\circ}=\dfrac{144}{360}\times 2\pi=\dfrac{4}{5}\pi$
また，
$\dfrac{23}{12}\pi=\dfrac{23}{12}\pi \times \left(\dfrac{360}{2\pi}\right) ^{\circ}=345^{\circ}$
→イ＝4，ウ＝5，エオカ＝345

(3) $x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと，
$\cos {\left(\theta+\dfrac{\pi}{30} \right)}=\cos {\left(x-\dfrac{\pi}{6} \right)}$
よって，
$①\iff 2\sin{x}-2\cos{\left( x-\dfrac{\pi}{6}\right)}=1$
→キ＝6
加法定理より，
$\cos{\left( x-\dfrac{\pi}{6}\right)}=\cos{x}\cos{\dfrac{\pi}{6}}-\sin{x}\sin{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}-\dfrac{1}{2}\sin{x}$
よって，
$①\iff \sin{x}-\sqrt{3}\cos{x}=1$
→ク＝3
三角関数の合成より，
$\sin{x}-\sqrt{3}\cos{x}=2\sin{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}$
したがって，
$①\iff \sin{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{2}$
→ケ＝3，コ＝2
$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}, \dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ より，
$\dfrac{11}{30}\pi \leqq x-\dfrac{\pi}{3} \leqq \dfrac{13}{15}\pi$
よって，
$x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5}{6}\pi \iff x=\dfrac{7}{6}\pi \iff \theta = \dfrac{29}{30}\pi$
→サシ＝29，スセ＝30

〔2〕
$t= \log_{3}x$ とおくと，
$\log_{3}x\cdot \log_{3}x \geqq 3\left(\log_{3}x-\log_{3}c\right)$
$\iff t^{2}-3t+3\log_{3}c \geqq 0$
→ソ＝2，タ＝3
$c=\sqrt[3]{9}=3^{\frac{2}{3}}$ のとき，
$\log_{3}c=\dfrac{2}{3}$
$③\iff t^{2}-3t+2 \geqq 0 \iff t\leqq 1, t\geqq 2 \iff x\leqq 3, x\geqq 9$
また，真数条件 $x>0$ より，
$0< x\leqq 3, x \geqq 9$
→チ＝1，ツ＝2，テ＝0，ト＝3，ナ＝9

$x>0$ のとき， $t$ は実数全体を動く
→ニ＝2
このとき，③がつねに成り立つための必要十分条件は，
（左辺）＝0とした二次方程式の判別式を考えて，
$3^{2}-4\cdot 1\cdot 3\log_{3}c\leqq 0 \iff \log_{3}c \geqq \dfrac{3}{4} \iff c\geqq 3^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{27}$
→ヌ＝3，ネ＝4，ノ＝4，ハヒ＝27

ココマス

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