ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学II・数学B　第3問

センター試験

(1) \left\{a_{n}\right\}の初項を a，公差を dとおくと，
a+3d=30, \dfrac{1}{2} \left\{ a+(a+7d) \right\} \cdot 8 =288
\iff a=-6, d=12
また， S_{n}=\dfrac{1}{2}n\left\{2\cdot(-6)+(n-1)\cdot 12 \right\}=6n^{2}-12n
→アイ＝-6，ウエ＝12，オ＝6，カキ＝12

(2) \left\{b_{n}\right\}の初項を b，公比を r(r>1)とおくと，
br=36, b+br+br^{2}=156
\iff br=36, \dfrac{36}{r}+36+36r=156
\iff br=36, 3r^{2}-10r+3=0
\iff b=12, r=3
また， T_{n}=\dfrac{12\cdot \left(3^{n}-1\right)}{3-1}=6(3^{n}-1)
→クケ＝12，コ＝3，サ＝6，シ＝3，ス＝1

(3) d_{n}=c_{n+1}-c_{n}
=\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(n-k+2)(a_{k}-b_{k})-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(a_{k}-b_{k})
=\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(n-k+2)(a_{k}-b_{k})-\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(n-k+1)(a_{k}-b_{k})
=S_{n+1}-T_{n+1}
→セ＝5

したがって，
d_{n}=6(n+1)^{2}-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)=6n^{2}-2\cdot 3^{n+2}
また， c_1=a_1-b_1=-6-12=-18
よって， n\geqq 2のとき，
c_{n}=c_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} d_{k}=-18+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(6k^{2}-2\cdot 3^{k+2}\right)
=-18+(n-1)n(2n-1)-\dfrac{54\left(3^{n-1}-1\right)}{3-1}=2n^{3}-3n^{2}+n+9-3^{n+2}
→ソ＝6，タ＝3，チ＝2，ツテト＝-18，ナ＝2，ニ＝3，ヌ＝9，ネ＝2