2018年度　センター試験　数学II・数学B　第2問

〔1〕
(1) $\ell$ の傾きは $2$ より，
$y'=2px+q$ において， $x=1, y'=2$ とおくと，
$q=-2p+2$
また， $y=px^{2}+qx+r$ において，
$(x, y)=(1, 1), q=-2p+2$ とすると，
$1=p+(-2p+2)+r \iff r= p-1$
→ア＝2，イウ＝-2，エ＝2，オ＝1

(2) $S=\displaystyle\int _1^{v} \{(px^{2}+qx+r)-(2x-1)\} \mathrm{d}x$
$=\displaystyle \int_1^{v} p(x-1)^{2} \mathrm{d}x=\dfrac{p}{3}(v-1)^{3}=\dfrac{p}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)$
→カ＝3，キ＝3，ク＝3，ケ＝1

$T=\displaystyle \int_1^{v} (2x-1) \mathrm{d}x=\left[ x^2-x \right] ^{v}_1=v^{2}-v$
→コ＝2
$U=S-T$ とおくと，
$U'=S'-T'=p(v-1)^{2}-2v+1$
$v=2, U'=0$ とすると，
$p=3$
このとき，
$U=(v-1)^{3}-(v^{2}-v)=(v-1)(v^{2}-3v+1)=0$ とおくと，
$v＞1$ のとき，
$v_{0}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
$1＜v＜v_{0}$ の範囲では， $U＜0$ より，
$U$ は負の値のみをとる
→サ＝3，シ＝3，ス＝5，セ＝2，ソ＝3
$p=3$ のとき，
$v＞1$ における $U$ の最小値は，
$U$ において $v=2$ として，
$U=1^{3}-(2^{2}-2)=-1$
→タチ＝-1

〔2〕
$F(x)$ が $f(x)$ の不定積分のとき，
$F'(x)=f(x)$
また， $W=\displaystyle \int_1^{t}\left(-f(x)\right)\mathrm{d}x=-F(t)+F(1)$
→ツ＝7，テ＝4
ここで，底辺の長さが $2t^{2}-2$ ，
他の2辺の長さがそれぞれ $t^{2}+1$ の二等辺三角形において，
三平方の定理より，高さは，
$\sqrt{\left(t^{2}+1\right)^{2}-\left(t^{2}-1\right)}=2t$
したがって，
$\dfrac{1}{2}(2t^{2}-2)\cdot 2t = -F(t)+F(1) \iff F(t)=-2t^{3}+2t+F(1)$
両辺 $t$ で微分して，
$f(t)=-6t^{2}+2$
→トナ＝-6，ニ＝2，ヌ＝2

ココマス

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