ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学I・数学A　第2問

センター試験

〔1〕
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余弦定理より，
\cos \angle{\mathrm{ABC}} = \dfrac{5^{2}+9^{2}-6^{2}}{2\cdot 5 \cdot 9} = \dfrac{7}{9} → ア＝7，イ＝9

\sin \angle {\mathrm{ABC}} = \sqrt{1-\cos^{2} \angle{ \mathrm{ABC}}}
=\dfrac{4\sqrt{2}}{9} →ウ＝4，エ＝2，オ＝9

また， \mathrm{AB} \cdot \sin \angle{\mathrm{ABC}}= 5\cdot \dfrac{4\sqrt{2}}{9}=\dfrac{20\sqrt{2}}{9}＞3
よって， \mathrm{CD}＜\mathrm{AB}\cdot \sin \angle{\mathrm{ABC}} →カ＝0
このとき， \mathrm{AD}//\mathrm{BC}とはならないので，
辺 \mathrm{AB}と辺\mathrm{CD}が平行である →キ＝4

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ここで，点\mathrm{B}から \mathrm{CD}に下ろした垂線の足を \mathrm{H}とおくと，
\mathrm{AB}//\mathrm{CD} より， \angle {\mathrm{BCH}}=\angle {\mathrm{ABC}}
よって，
\mathrm{CH}=\mathrm{BC} \sin \angle {\mathrm{ABC}}=9\cdot\dfrac{7}{9}=7，
\mathrm{BH}=\mathrm{BC} \cos \angle {\mathrm{ABC}}=9\cdot \dfrac{4 \sqrt{2}}{9}=4\sqrt{2}
したがって， \triangle{\mathrm{BDH}}において，三平方の定理より，
\mathrm{BD}=\sqrt {\mathrm{DH}^{2}+\mathrm{BH}^{ 2}}=\sqrt{10^{2}+\left(4\sqrt{2}\right)^{2}}
=2\sqrt{33} →ク＝2，ケコ＝33

〔2〕
(1)
0→箱ひげ図より，一番範囲が大きいのは男子短距離
1→箱ひげ図より，四つのグループのすべての四分位範囲は12未満
2→男子長距離グループの中央値（箱ひげ図より175~180）は度数最大の階級ではない
3→女子長距離グループの第1四分位数（箱ひげ図より160~165）は度数最大の階級ではない
4→箱ひげ図より，最も身長の高い選手は男子短距離グループ内
5→箱ひげ図より，最も身長の低い選手は女子短距離グループ内
6→箱ひげ図より，男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数はともに180~182

→サ，シ＝1，6

(2)
0→散布図より， Xと Wは正の相関がある
1→箱ひげ図より， Zの中央値が一番大きいのは(a)であり，
最大値が30だから，(a)は l_{4}に点がある男子短距離グループ
2→箱ひげ図より， Zの範囲が最小なのは(d)であり，
最大値が25未満だから，(d)は l_{3}より上側に点がない女子長距離グループ
3→箱ひげ図より，男子短距離(a)は明らかに Zの四分位範囲が最小ではない
4→2より正しい
5→散布図より，男子長距離グループと女子短距離グループを比較して，
l_{3}に近い点がある方の男子長距離グループが(c)

→ス，セ＝4，5

(3)
(x_{1}-\bar{x})(w_{1}-\bar{w})+(x_{2}-\bar{x})(w_{2}-\bar{w})+\cdots + (x_{n}-\bar{x})(w_{n}-\bar{w})
=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots +x_{n}w_{n}-(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})\bar{w}-\bar{x}(w_{1}+w{2}+\cdots +w_{n})+n\bar{x} \bar{w}
=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots +x_{n}w_{n}-n\bar{x}\bar{w}-n\bar{x} \bar{w}+n\bar{x} \bar{w}
=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots +x_{n}w_{n}-n\bar{x}\bar{w}
→ソ＝2