ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学I・数学A　第1問

センター試験

〔1〕

$(x+n)(n+5-x)=xn+x(5-x)+n^{2}+n(5-x)$

$=x(5-x)+n^{2}+5n$ →ア＝5

$X=x(5-x)$ とおくと，

$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)=x(5-x)\times (x+1)(6-x) \times (x+2)(7-x)$

$=X\times (X+1^{2}+5\times 1) \times (X+2^{2}+5\times 2)$

$=X(X+6)(X+14)$ →イ＝6，ウエ＝14

$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき，

$X=x(5-x)=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2} \times \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}$

$=\dfrac{5^{2}-17}{2^2} =2$ →オ＝2

$A=X(X+6)(X+14)=2\times 8\times 16$

$= 2^{1} \times 2^{3} \times 2^{4} =2^{8}$ →カ＝8

〔2〕

(1) $A=\{ 1, 2, 4, 5, 10, 20 \} , B=\{ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \} ,$

$C=\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$ より，

$A \not\subset C$ , $A \cap B = \varnothing$ → キ＝2

また， $A \cup C = \{ 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \}$ より，

$(A \cup C) \cap B = \{ 6, 12, 18\}$

次に， $\bar{A} \cap C= \{6, 8, 12, 14, 16, 18 \}$ より，

$(\bar{A} \cap C) \cup B= \{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18 \}$

また， $B\cup C = \{ 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 \}$ より，

$\bar{A} \cap (B\cup C) = \{ 3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18 \}$

したがって， $(\bar{A} \cap C) \cup B = \bar{A} \cap (B\cup C)$ → ク＝0

(2) $p \iff (x-2 ＜ -2 または x-2 ＞ 2) \iff (x ＜ 0 または x ＞ 4) \iff (qまたはr)$

よって， $q$ または $r$ であることは， $p$ であるための必要十分条件である →ケ＝2

また， $s \iff (x＜-2 または x＞2)$

よって， $s$ は $r$ であるための必要条件であるが，十分条件ではない →コ＝0

〔3〕

$f(x) = ax^{2} -2(a+3)x-3a+21$

$=a \left\{ x^{2}-2\left( 1+\dfrac{3}{a} \right) \right\} -3a+21$

$= a\left\{ x-\left(1+\dfrac{3}{a} \right) \right\}^{2} -3a+21-a\left(1+\dfrac{3}{a} \right)^{2}$

$=a\left\{ x-\left(1+\dfrac{3}{a} \right) \right\}^{2} -4a+15-\dfrac{9}{a}$

よって， $p=1+\dfrac{3}{a}$ → サ＝1，シ＝3

$0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるのは，

$p\geqq 4 \iff 1+\dfrac{3}{a} \geqq 4 \iff 0＜a\leqq 1$ のとき →ス＝1

また， $0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるのは，

$0 \leqq p\leqq 4 \iff 0\leqq 1+\dfrac{3}{a} \leqq 4 \iff 1\leqq a$ のとき →セ＝1

したがって， $0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $1$ となるのは，

(i) $0＜a \leqq 1$ のとき

$f(4)=1$ をといて，

$f(4)=1 \iff 16a-8(a+3)-3a+21=1$

$\iff 5a=4 \iff a=\dfrac{4}{5}$

(ii) $a \geqq 1$ のとき

$f(p)=1$ をといて，

$f(p)=1 \iff -4a+15-\dfrac{9}{a}=1 \iff 4a^{2}-14a+9=0$

$\iff a=\dfrac{7\pm \sqrt{7^{2}-4\cdot 9}}{4}=\dfrac{7\pm \sqrt{13}}{4}$

$a \geqq 1$ より， $a=\dfrac{7+ \sqrt{13}}{4}$

したがって， $a= \dfrac{4}{5}$ または $a=\dfrac{7+ \sqrt{13}}{4}$ →ソ＝4，タ＝5，チ＝7，ツテ＝13，ト＝4