平成29年度都立高校入試数学大問５

〔問1〕

$\mathrm{BD}$ の中点を $\mathrm{H}$ とおくと，

中点連結定理より，

$\mathrm{MH}=\dfrac{1}{2} \mathrm{AB}=4$

$\mathrm{HP}=\dfrac{1}{2} \mathrm{CD}=3$

また， $\angle{\mathrm{MHP}}=90^{\circ}$

よって，三平方の定理より，

$\mathrm{MP}=\sqrt{\mathrm{MH^{2}}+\mathrm{HP^{2}}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$

〔問2〕

三平方の定理より，

$\mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{AB^{2}}+\mathrm{BC^{2}}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$

立体 $\mathrm{M}-\mathrm{QBP}$ の体積を $\mathrm{V}(\mathrm{M}-\mathrm{QBP})$ と表すと，

$\mathrm{V}(\mathrm{M}-\mathrm{QBP})=\dfrac{\triangle{\mathrm{QBP}}}{\triangle{\mathrm{ABC}}}\times \mathrm{V}(\mathrm{M}-\mathrm{ABC})$

$=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\triangle{\mathrm{QBP}}}{\triangle{\mathrm{ABC}}} \times \mathrm{V}(\mathrm{D}-\mathrm{ABC})$

ここで，

$\dfrac{\triangle{\mathrm{QBP}}}{\triangle{\mathrm{ABC}}}=\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}\times \dfrac{\triangle{\mathrm{QBC}}}{\triangle{\mathrm{ABC}}}$

$=\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}\times\dfrac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AC}}\times \dfrac{\triangle{\mathrm{ABC}}}{\triangle{\mathrm{ABC}}}$

$=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{10-2}{10}=\dfrac{2}{3}$

また， $\triangle{\mathrm{BCD}}$ は1辺が $6\mathrm{cm}$ の正三角形より，

$\triangle{\mathrm{BCD}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^{2}=9\sqrt{3}$

よって， $\mathrm{V}(\mathrm{D}-\mathrm{ABC})=\dfrac{1}{3}\times 9\sqrt{3} \times {8}=24\sqrt{3}$

したがって，

$\mathrm{V}(\mathrm{M}-\mathrm{QBP})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3} \times 24\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ →け＝8，こ＝3

ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成29年度都立高校入試数学大問５