ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成27年度 都立高校入試 数学 大問5

東京都立高校入試

〔問1〕
\mathrm{AP}=\mathrm{PD}=4のとき，
\triangle{\mathrm{BCD}}\equiv \triangle{\mathrm{PBD}}\equiv \triangle{\mathrm{PCD}}
よって， \mathrm{BC}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}より，
\triangle{\mathrm{PBC}}は正三角形だから，
\angle{\mathrm{BPC}}=60^{\circ}

〔問2〕
三平方の定理より，
\mathrm{BC}=4\sqrt{2}, \mathrm{BM}=\mathrm{DM}=2\sqrt{2}, \mathrm{AM}=6\sqrt{2}
\triangle{\mathrm{AMD}}∽\triangle{\mathrm{APQ}}より，
\mathrm{PQ}=\mathrm{MD}\times \dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AM}}=2\sqrt{2}\times \dfrac{6}{6\sqrt{2}}=2
同様に \mathrm{AQ}=4\sqrt{2}より，
\mathrm{QM}=2\sqrt{2}
したがって，立体P-QBCの体積は
\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{QM} \times \mathrm{PQ}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\times 2=\dfrac{16}{3}