ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成27年度 都立高校入試 数学 大問4

東京都立高校入試

〔問1〕
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\triangle{\mathrm{ABC}}は二等辺三角形だから，
\angle{\mathrm{ACB}}=\angle{\mathrm{ABC}}=75^{\circ}
よって，
\angle{\mathrm{CBQ}}=75^{\circ}-a^{\circ}
\angle{\mathrm{PQC}}=\angle{\mathrm{CBQ}}+\angle{\mathrm{BCQ}}
=75^{\circ}-a^{\circ}+75^{\circ}=(150-a)^{\circ}

〔問2〕
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\triangle{\mathrm{ABP}}と \triangle{\mathrm{ACR}}において
仮定より，
\mathrm{BP}=\mathrm{CR} \cdots(1)
\triangle{\mathrm{ABC}}は二等辺三角形より，
\mathrm{AB}=\mathrm{AC} \cdots (2)
円周角の定理より，
\angle{\mathrm{APB}}=\angle{\mathrm{ARC}}\cdots(3)
(1)(2)(3)より，二辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
\triangle{\mathrm{ABP}}\equiv \triangle{\mathrm{ACR}}

〔問3〕
円周角の定理より，
\angle{\mathrm{ACB}}=\angle{\mathrm{BPA}}
また，\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BP}
よって，
\triangle{\mathrm{CAB}}\equiv \triangle{\mathrm{ABP}}\equiv \triangle{\mathrm{ACR}}
これより， \mathrm{AP}=\mathrm{AR}=\mathrm{CB}=6
\angle{\mathrm{ARP}}=\angle{\mathrm{APR}}=\angle{\mathrm{CBA}}=\angle{\mathrm{BCA}}
以上より，
\triangle{\mathrm{ABC}} ∽ \triangle{\mathrm{APR}}
よって， \mathrm{PR}=6\times \dfrac{6}{9}=4
したがって， \mathrm{CP}=9-4=5\mathrm{cm}