ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成26年度 都立高校入試 数学 大問4

東京都立高校入試

〔問1〕
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\angle{\mathrm{BAC}}=60^{\circ}, \angle{\mathrm{AQP}}=90^{\circ}より，
\angle{\mathrm{PAQ}}=(60-a)^{\circ}
よって，
\angle{\mathrm{APQ}}=90-(60-a)=(a+30)^{\circ}

〔問2〕
①
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\triangle{\mathrm{PSR}}と \triangle{\mathrm{ASQ}}において
\mathrm{RP}//\mathrm{AQ}より，平行線の錯角は等しいから，
\triangle{\mathrm{PRS}}=\triangle{\mathrm{AQS}}\cdots (1)
\triangle{\mathrm{SPR}}=\triangle{\mathrm{SAQ}}\cdots (2)
(1),(2)より，2組の角がそれぞれ等しいから，
\triangle{\mathrm{PSR}}∽ \triangle{\mathrm{ASQ}}

②
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\triangle{\mathrm{PCQ}}において
\mathrm{PC}:\mathrm{CQ}=2:1より， \mathrm{BP}=\mathrm{CQ}
また，\triangle{\mathrm{RBP}}は正三角形だから，
\mathrm{RB}=\mathrm{BP}
よって， \mathrm{RB}=\mathrm{QC}より， \mathrm{RQ}// \mathrm{BC}
したがって，
\triangle{\mathrm{PQS}}=\dfrac{\mathrm{SP}}{\mathrm{AP}}\times \triangle{\mathrm{PQA}}
=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AC}}\times \triangle{\mathrm{APC}}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BC}}\times \triangle{\mathrm{ABC}}
=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \triangle{\mathrm{ABC}}=\dfrac{4}{27}\triangle{\mathrm{ABC}}