ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成31年度 都立高校入試 数学 大問4

東京都立高校入試

〔問1〕
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\angle{\rm{ABC}}=50^{\circ}より, \angle{\rm{ADC}}=50^{\circ}
\triangle{\rm{APD}}について,
\angle{\rm{APC}}=\angle{\rm{DAP}}+\angle{\rm{ADP}}=(a+50)^{\circ}
→イ

〔問2〕
①
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\triangle{\rm{ABP}}と\triangle{\rm{PDR}}において
四角形ABCDは平行四辺形より, AB//DC
平行線の錯角は等しいから,
\angle{\rm{PAB}}=\angle{\rm{RPD}}\cdots (1)
仮定より, BP//QD
平行線の錯角は等しいから,
\angle{\rm{APB}}=\angle{\rm{PRB}}\cdots(2)
(1), (2)より, 2組の角がそれぞれ等しいから,
\triangle{\rm{ABP}}∽ \triangle{\rm{PDR}}

②
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BP//QDより, CS:SR=CP:RD=2:1, AR:RP=AQ:QB=CP:PD=2:1
\dfrac{\triangle{\rm{RSP}}}{\triangle{\rm{PDR}}}=\dfrac{\triangle{\rm{RSP}}}{\triangle{\rm{RCP}}}\times \dfrac{\triangle{\rm{RCP}}}{\triangle{\rm{PDR}}}=\dfrac{\rm{RS}}{\rm{RC}}\times\dfrac{\rm{CP}}{\rm{PD}}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{3}
\triangle{\rm{PDR}}∽ \triangle{\rm{ABP}}より,
\dfrac{\triangle{\rm{PDR}}}{\triangle{\rm{ABP}}}=\left(\dfrac{\rm{PD}}{\rm{AB}}\right)^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 =\dfrac{1}{9}
\triangle{\rm{ABP}}∽ \triangle{\rm{AQR}}より,
\dfrac{\triangle{\rm{ABP}}}{\triangle{\rm{AQR}}}=\left(\dfrac{\rm{AB}}{\rm{AQ}}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}
\dfrac{\triangle{\rm{RSP}}}{\triangle{\rm{AQR}}}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{9}\times \dfrac{9}{4}=\dfrac{1}{6}
よって,
(四角形QBSR)=\triangle{\rm{ABP}}-\triangle{\rm{AQR}}-\triangle{\rm{RSP}}= \left(\dfrac{9}{4}-1-\dfrac{1}{6}\right)\times \triangle{\rm{AQR}}=\dfrac{13}{12}\triangle{\rm{AQR}}
→きく=13, けこ=12