ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成25年度 都立高校入試 数学 大問4

東京都立高校入試

〔問1〕
f:id:coco_math_1801:20180208223431j:plain:w250
\angle{\mathrm{CSP}}=90^{\circ}-\angle{\mathrm{CPS}}=90^{\circ}-(180^{\circ}-\angle{\mathrm{APB}}-90^{\circ})
=\angle{\mathrm{APB}}=90^{\circ}-\angle{\mathrm{PAB}}=(90-a)^{\circ}

〔問2〕
f:id:coco_math_1801:20180208225045j:plain:w250
①
\triangle{\mathrm{ABP}}と \triangle{\mathrm{ADQ}}において
四角形ABCDは正方形だから，
\mathrm{AB}=\mathrm{AD}\cdots(1)
\angle{\mathrm{ABP}}=\angle{\mathrm{ADQ}}=90^{\circ}\cdots(2)
\angle{\mathrm{BAD}}=90^{\circ}
仮定より， \angle{\mathrm{PAQ}}=90^{\circ}
よって，
\angle{\mathrm{BAP}}=\angle{\mathrm{BAD}}-\angle{\mathrm{PAD}}=90^{\circ}-\angle{\mathrm{PAD}}
=\angle{\mathrm{PAQ}}-\angle{\mathrm{PAD}}=\angle{\mathrm{DAQ}}\cdots(3)
(1), (2), (3)より，1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
\triangle{\mathrm{ABP}}\equiv \triangle{\mathrm{ADQ}}

②
\mathrm{BC}=\mathrm{AB}=9, \mathrm{BP}=6より，
\mathrm{CP}=\mathrm{BC}-\mathrm{BP}=9-6=3
\triangle{\mathrm{ABP}}∽ \triangle{\mathrm{PCS}}より，
\mathrm{CS}=\mathrm{BP}\times \dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AB}}=6\times \dfrac{3}{9}=2
\mathrm{PS}=\mathrm{AP}\times \dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AB}}=\mathrm{AP}\times \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\mathrm{AP}
\mathrm{QS}=\mathrm{QD}+\mathrm{DC}-\mathrm{CS}=\mathrm{BP}+\mathrm{AB}-\mathrm{CS}=6+9-2=13
\triangle{\mathrm{AQT}}∽ \triangle{\mathrm{RST}}と\mathrm{AQ}=\mathrm{PR}=\mathrm{AP}より，
\mathrm{QT}:\mathrm{ST}=\mathrm{AQ}:\mathrm{RS}=\mathrm{AQ}:(\mathrm{PR}-\mathrm{PS})=\mathrm{AP}:\left(\mathrm{AP}-\dfrac{1}{3}\mathrm{AP}\right)=3:2
したがって，
\mathrm{QT}=\mathrm{QS}\times \dfrac{3}{3+2}=13\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{39}{5}\mathrm{cm}