ココマス

数学・算数関連を気ままに

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第4問

センター試験

(1)
| \overrightarrow{OA} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + (-6)^{2}} = 3\sqrt{6}
| \overrightarrow{OB} | = \sqrt{ (2+2\sqrt{3} )^{2} + (2-2\sqrt{3} )^{2} + (-4) ^{2} } = 4\sqrt{3}
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3\cdot (2+2\sqrt{3}) + 3 \cdot (2-2\sqrt{3} ) + (-6) \cdot (-4) = 36

→ア=3, イ=6, ウ=4, エ=3, オカ=36

(2)
\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC} より,
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0
\Leftrightarrow s |\overrightarrow{ OA } |^{2} +t \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =0
\Leftrightarrow 3s +2t = 0
\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 24より,
s\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} +t| \overrightarrow{OB} |^{2} =24
3s +4t = 2
これらを解いて,
s = \dfrac{-2}{3}, t=1

\therefore |\overrightarrow{OC}| = \sqrt{s^2 |\overrightarrow{OA}|^{2}+ 2st\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} +t^{2} |\overrightarrow{OB}|^{2} }
= \sqrt{24-48+48} = 2\sqrt{6}
→キク=-2, ケ=3, コ=1, サ=2, シ=6


(3)
\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \left(-\dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right)
= \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA} = (2, 2, -4)

\therefore \overrightarrow{CB} //\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CB} \ne \overrightarrow{OA}より,
四角形OABCは平行四辺形ではないが台形である

また, \overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC} より,
四角形OABCの面積は,
\dfrac{1}{2} \cdot \left(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{CB} |\right) \cdot |\overrightarrow{OC}|
= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 30
→ス=2, セ=2, ソタ=-4, チ=3, ツテ=30


(4)
D(p, q, 1) とおくと,
\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OD}
\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} =0
\Leftrightarrow 3p+3q -6 =0
\Leftrightarrow p+q-2=0

\overrightarrow{OC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
=(-2, -2, 4) + (2+2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3}, -4)
= (2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, 0)
\therefore \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD} = 2\sqrt{3}(p-q) = 2\sqrt{6}
\Leftrightarrow p-q = \sqrt{2}
これらを解いて,
p = 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, q = 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\therefore D \left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)

このとき,
|\overrightarrow{OD}| = \sqrt{\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} + \left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} + 1^{2} } = 2より,
\cos{\angle{COD}} = \dfrac{\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OC}| |\overrightarrow{OD}|}=\dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot 2} = \dfrac{1}{2}
\therefore \angle{COD} = 60^{\circ}


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三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは,
|\overrightarrow{OD}|\sin{60^{\circ}} = \sqrt{3}

\triangle{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{OC} | =\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 12
\therefore四面体DABCの体積は,
\dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

→ト=1, ナ=2, ニ=2, ヌ=1, ネ=2, ノ=2, ハヒ=60, フ=3, ヘ=4, ホ=3