ココマス

数学・算数関連を気ままに

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第3問

センター試験

(1)
a_{1} = 0
a_{2} = \dfrac{4}{2} (3\cdot 0 + 9 - 2 \cdot 3) =6

→ア = 6


(2)
b_{1} = \dfrac{a_{1}}{3\cdot 2 \cdot 3} = 0
a_{n+1} = \dfrac{n+3}{n+1} \{ 3a_{n} + 3^{n+1} -(n+1)(n+2) \}の両辺を
3^{n+1}(n+2)(n+3)で割ると,
b_{n+1} = b_{n} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} -\left( \dfrac{1}{3} \right) ^{n+1}

\therefore b_{n+1} - b_{n} = \left( \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2} \right) - \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n+1}

→イ=0, ウ=1, エ=1, オ=2, カ=3, キ=1


nを2以上の自然数とするとき,
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2} \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^{k+1} = \dfrac{1}{9} \dfrac{ 1-\left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} }{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}

\therefore \displaystyle b_{n} = b_{1} + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{\left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2} \right) -\left( \dfrac{1}{3} \right) ^{k+1}\right\}
= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{n-1}{n+1} \right) -\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}
= \dfrac{n-2}{3(n+1)}+ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}
これはn=1のときも成り立つ

→ク=2, ケ=1, コ=1, サ=1, シ=6, ス=1, セ=2, ソ=2, タ=3, チ=1


(3)
(2)より,
a_{n} = 3^{n}(n+1)(n+2)b_{n}
=3^{n-1} (n^{2} -4)+ \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

→ツ=3, テ=1, ト=4, ナ=1, ニ=2, ヌ=3


(4)
r=0, 1, 2のとき,
a_{3k+r} を3で割った余りは,
\dfrac{(r+1)(r+2)}{2}を3で割った余りに等しい
\therefore a_{3k}, a_{3k+1}, a_{3k+2}を3で割った余りは,
\dfrac{1\cdot 2}{2} =1, \dfrac{2\cdot 3}{2} =3, \dfrac{3\cdot 4} {2} = 6よりそれぞれ
1, 0, 0

また, \{a_{n} \} の初項から第2020項までの和を3で割った余りは
a_{1} =0, a_{2} = 6,
2020 = 3 \cdot 673 + 1 = 2 + 3 \cdot 672 + 2より,
0+0+(1+0+0) \times 672+1+0=673を3で割った余りに等しく, 1

→ネ=1, ノ=0, ハ=0, ヒ=1