ココマス

数学・算数関連を気ままに

2019年度　センター試験　数学II　第3問

センター試験

(1)
2点A, Bを通る直線の方程式は,
y=\dfrac{2-(-1)}{2-(-4)}(x-2)+2=\dfrac{1}{2}x+1\Leftrightarrow x-2y+2=0
→ア=2, イ=2

(2)
線分ABを2:1に内分する点の座標は,
\left(\dfrac{-4\cdot 1+2\cdot 2}{2+1}, \dfrac{-1\cdot 1+2\cdot2}{2+1}\right)=\left(0, 1\right)
線分ABを2:1に外分する点の座標は,
\left(\dfrac{-4\cdot (-1)+2\cdot 2}{2+(-1)}, \dfrac{-1\cdot (-1)+2\cdot2}{2+(-1)}\right)=\left(8, 5\right)
→ウ=0, エ=2, オ=8, カ=5

(3)
2点A, Bからの距離の比が2:1である点Pの座標を (x, y)とすると,
\rm{AP}^{2}=2^{2} \rm{AB}^{2}より,
(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=4\left\{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}\right\}
\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-8x-6y+5=0
\Leftrightarrow (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=\left(2\sqrt{5}\right)^{2}
よって, 求める軌跡は, 中心が点 (4, 3), 半径が 2\sqrt{5}の円
→キ=4, ク=8, ケ=6, コ=5, サ=4, シ=3, ス=2, セ=5

(4)
円Cの方程式に x=0を代入して,
y^{2}-6y+5=0\Leftrightarrow (y-1)(y-5)=0\Leftrightarrow y=1, 5
よって, 円 Cと y軸との交点の座標は
(0, 1), (0, 5)

\ell_{1}の方程式は
(0-4)(x-4)+(1-3)(y-3)=20\Leftrightarrow y=-2x+1
\ell_{2}の方程式は
(0-4)(x-4)+(5-3)(y-3)=20\Leftrightarrow y=2x+5

f:id:coco_math_1801:20190203235627j:plain:w250
\ell_{1}と \ell_{2}の交点を求めると,
-2x+1=2x+5\Leftrightarrow x=-1
y=2\cdot (-1)+5=3
\therefore (-1, 3)より, 求める図形の面積は,
\dfrac{1}{2}\cdot (5-1)\cdot 1=2
→ソ=1, タ=5, チツ=-2, テ=1, ト=2, ナ=5, ニ=2