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平成29年度 大阪府立高校入試 数学 C問題 大問3

大阪府立高校入試

(1)
①
\triangle{\mathrm{EIH}}∽\triangle{\mathrm{EDF}}より、
\mathrm{IH}=\mathrm{DF}\times \dfrac{\mathrm{EH}}{\mathrm{EF}}=4\times \dfrac{8-x}{8} \\ =\dfrac{8-x}{2}

②
\dfrac{1}{2}\times \left\{\left(8-x\right)+x\right\}\times 4=2\times \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{8-x}{2}+4\right)\times x
0\lt x \lt 8より、
x=8-4\sqrt{2}

(2)
\mathrm{AG}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{GC}^2=(8-x)^2+4^2
\mathrm{AH}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DF}^2+\mathrm{FH}^2=4^2+4^2+x^2
AG=AHより、
(8-x)^2+16=32+x^2, x=3
このとき
\mathrm{AG}=\mathrm{AH}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}
また、
\mathrm{GH}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}
GHの中点をNとし、AとNをつなぐと、
\mathrm{AN}=\sqrt{\mathrm{AG}^2-\mathrm{GN}^2}=\sqrt{41-5}=6
よって、
\triangle{\mathrm{AGH}}=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 6=6\sqrt{5}

(3)
①
Hを通りDFに平行な直線とDEとの交点をIとおくと、
\mathrm{IH}=3
また、LはAI上の点となる
\triangle{\mathrm{LAJ}}∽\triangle{\mathrm{LIH}}より、
\mathrm{LA}:\mathrm{LI}=\mathrm{AJ}:\mathrm{IH}=2:3
\triangle{\mathrm{ALM}}∽\triangle{\mathrm{IAD}}より、
\mathrm{LM}=\mathrm{AD}\times \dfrac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AI}}=4\times \dfrac{2}{2+3}=\dfrac{8}{5}

②
GC上にGJ//PAとなる点Pをとると、
\mathrm{GP}:\mathrm{GC}=\mathrm{JA}:\mathrm{JC}
\mathrm{GP}=\dfrac{6\times 2}{6}=2
KG//APより、
\mathrm{AK}:\mathrm{KB}=\mathrm{PG}:\mathrm{GB}=2:2=1:1
\mathrm{(立体J-CGH)}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 6\times 4\times 6 \\ =24
\mathrm{(立体J-AKL)}=\dfrac{1}{3}\times \triangle{\mathrm{AKJ}}\times \mathrm{LM}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 2\times \dfrac{1}{2}\times 8\times \dfrac{8}{5} \\ =\dfrac{32}{15}
\mathrm{(立体AKL-CGH)}=\mathrm{(立体J-CGH)}-\mathrm{(立体J-AKL)}=24-\dfrac{32}{15} \\ =\dfrac{328}{15}