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数学・算数関連を気ままに

平成29年度 大阪府立高校入試 数学 B問題 大問4

大阪府立高校入試

(1)
{\rm EH}={\rm EF}-{\rm HF}=8-x

\triangle{\rm GEH}=\dfrac{1}{2}\times (8-x)\times 4=2(8-x)

(2)
①
{\rm AG}^2=4^2+(8-x)^2=x^2-16x+80

{\rm AH}^2=x^2+4^2+4^2=x^2+32

{\rm AG}={\rm AH}より、

x^2-16x+80=x^2+32, x=3

②
{\rm AG}={\rm AH}=\sqrt{3^2+32}=\sqrt{41}

{\rm GH}=\sqrt{(5-3)^2+4^2}=2\sqrt{5}

GHの中点をMとおくと、

{\rm GH}=\sqrt{5}

{\rm AH}=\sqrt{41-(\sqrt{5})^2}=6

よって、 \triangle{\rm AGH}=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 6=6\sqrt{5}

③
\triangle{\rm EJH}{\rm ∽}\triangle{\rm EDF}より、

{\rm JH}=4\times \dfrac{6}{8}=3

EBをB側に、HGをG側に、JIをI側にそれぞれ延長すると、1点で交わる

この交点をPとおくと、PB:PE=BG:EH=2:6=1:3

よって、PE:BE=3:2だから、{\rm PE}=6

{\rm (立体P-EHJの体積)}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 6 \times 3\times 6=18

{\rm (立体P-BGIの体積)}=18\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}

したがって、

{\rm (立体BE-IGHJの体積)}=18-\dfrac{2}{3}=\dfrac{52}{3}