2018年度　センター試験　数学I　第2問

$f(x) = ax^{2} -2(a+3)x-3a+21$
$=a \left\{ x^{2}-2\left( 1+\dfrac{3}{a} \right) \right\} -3a+21$
$= a\left\{ x-\left(1+\dfrac{3}{a} \right) \right\}^{2} -3a+21-a\left(1+\dfrac{3}{a} \right)^{2}$
$=a\left\{ x-\left(1+\dfrac{3}{a} \right) \right\}^{2} -4a+15-\dfrac{9}{a}$
よって， $p=1+\dfrac{3}{a}$
→ ア＝1，イ＝3

$0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるのは，
$p\geqq 4 \iff 1+\dfrac{3}{a} \geqq 4 \iff 0＜a\leqq 1$ のとき
→ウ＝1

また， $0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるのは，
$0 \leqq p\leqq 4 \iff 0\leqq 1+\dfrac{3}{a} \leqq 4 \iff 1\leqq a$ のとき
→エ＝1

したがって， $0 \leqq x \leqq 4$ において $y=f(x)$ の最小値が $1$ となるのは，

(i) $0＜a \leqq 1$ のとき
$f(4)=1$ をといて，
$f(4)=1 \iff 16a-8(a+3)-3a+21=1$
$\iff 5a=4 \iff a=\dfrac{4}{5}$

(ii) $a \geqq 1$ のとき
$f(p)=1$ をといて，
$f(p)=1 \iff -4a+15-\dfrac{9}{a}=1 \iff 4a^{2}-14a+9=0$
$\iff a=\dfrac{7\pm \sqrt{7^{2}-4\cdot 9}}{4}=\dfrac{7\pm \sqrt{13}}{4}$
$a \geqq 1$ より， $a=\dfrac{7+ \sqrt{13}}{4}$

(i)(ii)より， $a= \dfrac{4}{5}$ または $a=\dfrac{7+ \sqrt{13}}{4}$
→オ＝4，カ＝5，キ＝7，クケ＝13，コ＝4

(2)
$a＞0$ より， $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるのは，
二次方程式
$ax^{2} -2(a+3)x-3a+21=0$ の判別式 $D$ が正となるときだから，
$D/4=\{-(a+3)\}^{2}-a\cdot (-3a+21)=4a^{2}-15a+9=(4a-3)(a-3)＞0$
$\iff a＜\dfrac{3}{4}, a＞3$
$a＞0$ より，
$0＜a＜\dfrac{3}{4}または 3＜a \cdots (i)$
→サ＝3，シ＝4，ス＝3
このとき2つの解を $\alpha, \beta (\alpha ＜\beta)$ とおくと，
$L=\beta-\alpha=\dfrac{-\{-(a+3)\}+\sqrt{D/4}}{a}-\dfrac{-\{-(a+3)\}-\sqrt{D/4}}{a}=\dfrac{2\sqrt{D/4}}{a}$
(i)のとき，
$2＜L＜4\iff a^{2}＜D/4＜4a^{2}$
$a^{2}＜D/4 \iff 3a^{2}-15a+9＞0 \iff a^{2}-5a+3＞0\iff a＜\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, a＞\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$
$D/4＜4a^{2} \iff 15a＞9 \iff a＞\dfrac{3}{5}$
よって，
$2＜L＜4\iff \dfrac{3}{5} ＜a＜\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}＜a$
→セ＝3，ソ＝5，タ＝5，チツ＝13，テ＝2，ト＝5，ナニ＝13，ヌ＝2

ココマス

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