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数学・算数関連を気ままに

平成31年度 大阪府立高校入試 数学 C問題 大問2

大阪府立高校入試

(1)
\overset{\frown}{\rm{AB}}=8\pi \times \dfrac{a}{360}=\dfrac{1}{45}\pi a

(2)
\rm{CD}=\rm{CA}より
\angle{\rm{CDA}}=\angle{\rm{CAD}}
円周角と中心角の関係より
\angle{\rm{FOC}}=2\angle{\rm{CAD}}
内角と外角の関係より
\angle{\rm{FCO}}=\angle{\rm{CDA}}+\angle{\rm{CDA}}=2\angle{\rm{CAD}}
よって
\angle{\rm{FOC}}=\angle{\rm{FCO}}
したがって
\rm{FO}=\rm{FC}

(3)
①
\rm{OC}の中点を\rm{M}とおくと
\triangle{\rm{FHC}}∽\triangle{\rm{BAC}}
よって
\rm{FC}:\rm{BC}=\rm{HC}:\rm{AC}
\rm{HC}=\dfrac{1}{4}\rm{BC}=2より
\rm{FC}:8=2:6=1:3
したがって
\rm{FC}=\dfrac{8}{3}

②
\triangle{\rm{AOF}}=\dfrac{\rm{AF}}{\rm{AC}}\times \triangle{\rm{AOC}}= \dfrac{6-\frac{8}{3}}{6}\times\dfrac{1}{2}\times \triangle{\rm{ABC}}=\dfrac{5}{18}\triangle{\rm{ABC}}
\rm{AB}=\sqrt{\rm{BC}^2-\rm{AC}^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}
\triangle{\rm{ABC}}=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{7}\times 6=6\sqrt{7}より
\triangle{\rm{AOF}}=6\sqrt{7}\times \dfrac{5}{18}=\dfrac{5\sqrt{7}}{3}