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平成29年度 大阪府立高校入試 数学 C問題 大問1

大阪府立高校入試

(1)
(与式) =\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}\times (-2a^{4}b)\times \dfrac{6}{a^{6}b^{3}} \\ =-\dfrac{4}{3}b^{2}

(2)
(与式)=\dfrac{18-4}{\sqrt{6}}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{14\sqrt{6}}{6}-\dfrac{3\sqrt{6}}{6}-\dfrac{2\sqrt{6}}{6} \\ =\dfrac{3\sqrt{6}}{2}

(3)
(与式)=(b-2)ab-2(b-2) \\ =(ab-2)(b-2)

(4)
(x-29)^2-3(x-29)-28=0, \left\{(x-29)+4\right\}\left\{(x-29)-7\right\}=0, \\ x=25, 36

(5)
2日目のお菓子の販売数は
140-x-12=128-x
2日目のジュースの販売数は
240-y
2日目はお菓子1個とジュース1本のセットは販売していないから、
128-x=240-y\cdots (1)
2日間の売上金額の合計は
100x+80y+160(128-x)=30560 \cdots (2)
(1), (2) を解くと、
x=56, y=168

(6)
取り出した2枚のカードに書いてある数を x, yとすると、
a=xy
b=1+2+3+4+5+6+7+8-x-y \\ =28-x-y
a+b>40, xy+28-(x+y)>40, (x-1)(y-1)>5
また、a+bが偶数なのはx, yのいずれも偶数のときのみ
これらをみたす (x, y)の組み合わせは
(x, y)=(2, 8), (4, 6), (4, 8) ,(6, 4),(6, 8), (8,2), (8, 4), (8, 6)の8通り
よって、求める確率は
\dfrac{8}{8\times 7}=\dfrac{1}{7}

(7)
Bの x座標を bとおくと、
\rm{A}(0,1), \rm{B}(b, ab^2), \rm{C}(b-4,0), \rm{D}(b-3,0)
ACとBCの傾きは等しいから、
\dfrac{1}{4-b}=\dfrac{ab^2}{4}, ab^2(4-b)=4\cdots (1)
BDの傾きが \dfrac{1}{2}だから、
\dfrac{ab^2}{3}=\dfrac{1}{2}, ab^2=\dfrac{3}{2}\cdots (2)
(1), (2)より、
a=\dfrac{27}{32} \left(b=\dfrac{4}{3}\right)

(8)
n+110=13a, 240-n=7b (a, bは自然数)となればよい
n=13a-110=240-7b, \\ 13a=350-7b=7(50-b)
左辺は13の倍数だから
50-b=13, 26,39
b=11,24,37
このとき n=163, 72, -19となるが、
nは自然数だから、 n=72, 163