ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学II　第3問

センター試験

(1)
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\ell_{1}の方程式は，
y=\dfrac{1-0}{2-(-1)}\left\{x-(-1)\right\}=\dfrac{1}{3}(x+1)\iff x-3y+1=0
C_{1}の方程式は，
x^{2}+y^{2}+6x-12y+36=0 \iff (x+3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}
したがって， C_{1}は中心 (-3, 6)，半径 3の円

ア→3，イ＝1，ウエ＝-3，オ＝6，カ＝3

(2)
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\mathrm{G}(s, t)は三角形 \mathrm{ABP}の重心だから，
s=\dfrac{-1+2+a}{3}, t=\dfrac{0+1+b}{3} \iff a=3s-1, b=3t-1
キ＝3，ク＝1，ケ＝3，コ＝1
(x+3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}に (x, y)=(a, b)を代入して，
(a+3)^{2}+(b-6)^{2}=9 \iff (3s+2)^{2}+(3t-7)^{2}=9 \iff \left(s+\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(t-\dfrac{7}{3}\right)^{2}=1
したがって， \mathrm{P}が \mathrm{C_{1}}上を動くとき，
\mathrm{G}の軌跡は，中心 \left(\dfrac{-2}{3}, \dfrac{7}{3}\right)，半径 1の円となる

→サシ＝-2，ス＝3，セ＝7，ソ＝3，タ＝1

(3)
\mathrm{C_{2}}の中心を通り，直線 \ell_{1}と垂直な直線 \ell_{2}の方程式は，
3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)+\left(y-\dfrac{7}{3}\right)=0\iff 9x+3y-1=0
\ell_{1}と \ell_{2}の交点は，
x-3y+1=0, 9x+3y-1=0 \iff (x, y)=\left(0, \dfrac{1}{3}\right)より，
線分ABを 1:2に内分する
→チ＝9，ツ＝3，テ＝2

このとき，
（円 \mathrm{C_2}の中心から \ell_{1}の距離）
=\dfrac{\left|\left(-\dfrac{2}{3}\right)-3\cdot \dfrac{7}{3}+1\right|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}=\dfrac{\left|-2-21+3\right|}{3\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}
したがって， \mathrm{QR}の長さの最小値は
（円 \mathrm{C_2}の中心から \ell_{1}の距離）ー（円 \mathrm{C_2}の半径）
=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}-1
→ト＝2，ナニ＝10，ヌ＝3

\mathrm{QR}の長さが最大となるのは，
\mathrm{R}が \mathrm{B}と一致するとき，
つまり， \mathrm{R}(2, 1)
このとき，
（円 \mathrm{C_2}の中心から \mathrm{B}の距離）
=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}-2\right)^{2}+\left(\dfrac{7}{3}-1\right)^{2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}
したがって， \mathrm{QR}の最大値は，
（円 \mathrm{C_2}の中心から \mathrm{B}の距離）＋（円 \mathrm{C_2}の半径）
=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}+1
→ネ＝2，ノ＝1，ハ＝4，ヒ＝5，フ＝3