2018年度　センター試験　数学II　第4問

(1)
$P(-1+\sqrt{6}i)$
$=(-1+\sqrt{6}i)^{3}+a(-1+\sqrt{6}i)^{2}+b(-1+\sqrt{6}i)+c$
$=-1-3\sqrt{6}i+18-6\sqrt{6}i+a(1-2\sqrt{6}i-6)+b(-1+\sqrt{6}i)+c$
$=-5a-b+c+17+(-2a+b-3)\sqrt{6}i$
これが0となるから，
$-5a-b+c+17=-2a+b-3=0 \iff b=2a+3, c=7a-14$

→アイ＝-5，ウエ＝17，オカ＝-2，キ＝3，ク＝2，ケ＝3，コ＝7，サシ＝14

二つの虚数 $-1+\sqrt{6}i, -1-\sqrt{6}i$ を解とする2次方程式で， $x^{2}$ の係数が1のものは，
$\left\{x-(-1+\sqrt{6}i)\right\}\left\{x-(-1-\sqrt{6}i)\right\}=0 \iff x^{2}+2x+7=0$

→ス＝2，セ＝7

$P(x)=x^{3}+ax^{2}+(2a+3)x+7a-14$
$=(x^{2}+2x+7)\left\{x+(a-2)\right\}$
したがって，商は $x+a-2$ ，余りは $0$
よって， $P(x)=0$ の実数解は
$x=-a+2$

→ソ＝2，タ＝0，チ＝-，ツ＝2

(2)
$P(x)$ を $x+a-3$ で割ったときの余りが $6$ のとき，
$P(x)=(x^{2}+2x+7)\left\{x+(a-2)\right\}=(x^{2}+2x+7)\left\{(x+a-3)+1\right\}$
$=(x^{2}+2x+7)(x+a-3)+(x+1)^{2}+6$ より，
$P(-a+3)=(-a+4)^{2}+6=6 \iff a=4$
このとき，
$P(x)=Q(x)(x-1)+13x+17$ とおけるから，
$Q(x)(x-1)=P(x)-13x-17=(x^{3}+4x^{2}+11x+14)-13x-17$
$=x^{3}+4x^{2}-2x-3=(x-1)(x^{2}+5x+3)$
したがって，
$Q(x)=x^{2}+5x+3$

→テ＝4，ト＝5，ナ＝3

ココマス

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2018年度　センター試験　数学II　第4問