ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成28年度 都立高校入試 数学 大問5

東京都立高校入試

〔問1〕
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展開図上で考えると，
\ellが最も小さくなる場合はPMとADの交点がQとなるとき
このとき，三平方の定理より，
\ell=\mathrm{PM}=\sqrt{\mathrm{PF}^{2}+\mathrm{FM}^{2}} =\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10
→おか＝10

〔問2〕
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BCの中点をR，EFの中点をS，MNの中点をTとし，
点QからRTへ下ろした垂線の足をHとおくと，
三平方の定理より，
\mathrm{AR}=\mathrm{DS}=2\sqrt{3}，\mathrm{DT}=\sqrt{3}
\mathrm{RT}=\sqrt{\mathrm{RS}^2+\mathrm{TS}^2}=\sqrt{9^{2}+\sqrt{3}^{2}}=2\sqrt{21}
\mathrm{QR}=\sqrt{\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+4^{2}}=2\sqrt{7}
\mathrm{QT}=\sqrt{\mathrm{QD}^{2}+\mathrm{DT}^{2}}=\sqrt{5^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{7}
これより， \mathrm{QR}=\mathrm{QT}
よって， \triangle{\mathrm{QRT}}は二等辺三角形より，HはRTの中点
したがって，
\mathrm{RH}=\dfrac{1}{2} \mathrm{RT}=\sqrt{21}
\mathrm{QH}=\sqrt{\mathrm{QR}^{2}-\mathrm{RH}^{2}}=\sqrt{\left(2\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=\sqrt{7}
また，四角形BPNMは台形だから，この面積は，
\dfrac{1}{2}\times (\mathrm{MN}+\mathrm{BP})\times \mathrm{RT}=\dfrac{1}{2}\times (2+4)\times 2\sqrt{21}=6\sqrt{21}
以上より，立体Q-BPNMの体積は，
\dfrac{1}{3}\times 6\sqrt{21} \times \sqrt{7}=14\sqrt{3} →きく＝14，け＝3