ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成29年度都立高校入試数学大問４

東京都立高校入試

〔問1〕

$\stackrel{\frown}{\mathrm{CQ}}$ について，円周角と中心角の関係より，

$\angle{\mathrm{QOC}}=2\angle{\mathrm{QBC}}=2a^{\circ}$

$\mathrm{OC}=\dfrac{1}{2}\times 12 = 6\mathrm{cm}$ より，

$\stackrel{\frown}{\mathrm{CQ}}=2\pi \times 6\times \dfrac{2a}{360}=\dfrac{1}{15}\pi a \mathrm{cm}$ → エ

〔問2〕

①

$\triangle{\mathrm{ABP}}$ と $\triangle{\mathrm{QCB}}$ において

四角形ABCDは長方形だから， $\angle{\mathrm{PAB}}=90^{\circ}\cdots (1)，\mathrm{AP} // \mathrm{BC}\cdots (2)$

半円の弧に対する円周角より， $\angle{\mathrm{BQC}}=90^{\circ}\cdots (3)$

(1), (3) より， $\angle{\mathrm{PAB}}=\angle{\mathrm{BQC}} \cdots (4)$

(2)より，平行線の錯角は等しいから，

$\angle {\mathrm{APB}} = \angle {\mathrm{QBC}}\cdots (5)$

(4), (5)より，2組の角がそれぞれ等しいから，

$\triangle{\mathrm{ABP}}$ ∽ $\triangle{\mathrm{QCB}}$

②

$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=1:3$ より，

$\mathrm{AP}=\dfrac{1}{1+3}\times 12=3$

$\mathrm{AB}=6$ だから，三平方の定理より，

$\mathrm{PB}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$

①より， $\triangle{\mathrm{ABP}}$ ∽ $\triangle{\mathrm{QCB}}$ だから，

$\mathrm{QB}=\mathrm{BC} \times \dfrac{3}{3 \sqrt{5}}=\dfrac{12 \sqrt{5}}{5}$

よって，

$\mathrm{PQ}=\mathrm{PB}-\mathrm{QB} =3\sqrt{5}-\dfrac{12\sqrt{5}}{5}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\mathrm{cm}$ → お＝3，か＝5，き＝5