ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学II・数学B　第4問

センター試験

(1)\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{FB}}-\vec{\mathrm{FA}}=\vec{q}-\vec{p}
また， |\vec{\mathrm{AB}}|^{2}=|\vec{q}-\vec{p}|^{2}=|\vec{p}|^{2}-2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^{2}\cdots ①
→ア＝2，イ＝2

(2)\vec{\mathrm{FD}}=\dfrac{3\vec{\mathrm{FA}}+\vec{\mathrm{FB}}}{3+1}=\dfrac{3}{4}\vec{p}+\dfrac{1}{4}\vec{q}\cdots ②
→ウ＝3，エ＝4，オ＝1，カ＝4

(3) s\vec{r}=\dfrac{3\vec{p}+\vec{q}}{4}より，
\vec{q}=-3\vec{p}+4s\vec{r}\cdots ③
また， \vec{\mathrm{FE}}=t\vec{p}=(1-a)\vec{q}+a\vec{r}より，
\vec{q}=\dfrac{t}{1-a}\vec{p}-\dfrac{a}{1-a}\vec{r} \cdots ④
③，④より，
-3=\dfrac{t}{1-a}, 4s=-\dfrac{a}{1-a} \iff s=\dfrac{-a}{4(1-a)}, t=-3(1-a)
→キク＝-3，ケ＝4，コ＝1，サ＝a，シ＝a
スセ＝-a，ソ＝4，タチ＝-3

(4) |\vec{p}|=1かつ
\vec{\mathrm{BE}}=\vec{\mathrm{FE}}-\vec{\mathrm{FB}}=t\vec{p}-\vec{q}=-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}より，
|\vec{\mathrm{BE}}|^{2}=|-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}|^{2}
=9(1-a)^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^{2}
したがって，|\vec{\mathrm{AB}}|^2=|\vec{\mathrm{BE}}|^{2}より，
1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^{2}=9(1-a)^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^{2}
4-3a>0より，
\vec{p}\cdot\vec{q}=\dfrac{3a-2}{2}
→ツ＝9，テ＝6，トナ＝3a，ニ＝2，ヌ＝2