2018年度　センター試験　数学II・数学B　第5問

(1)

$X=2a$ となるには， $a$ 枚のカードから $2a$ を取り出せばよいから，
求める確率は $\dfrac{1}{a}$ →ア＝1，イ＝ $a$

$X$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$X^2$	$4$	$16$	$36$	$64$	$100$
$P(X)$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{5}$

$a=5$ のとき， $X$ の期待値 $E[X]$ は上記の表より，
$E[X]=\dfrac{1}{5}\cdot (2+4+6+8+10)=6$
同様に，
$E[X^2]=\dfrac{1}{5}\cdot(4+16+36+64+100)=44$
よって， $X$ の分散 $V[X]$ は，
$V[X]=E[X^2]-E[X]^2=44-6^2=8$
→ウ＝6，エ＝8

$E[sX+t]=sE[X]+t, V[sX]=s^2 V[X]$ かつ $s＞0$ より，
$6s+t=20, 8s^2=32$
$\iff s=2, t=8$
このとき， $P(sX+t\geqq 20)=P(X\geqq 6)=\dfrac{3}{5}=0.6$
→オ＝2，カ＝8，キ＝6

(2)
$a$ 枚のカードから3枚取り出して横1列に並べる場合の数は，
${}_a P_3=a(a-1)(a-2)$
$a$ 枚のカードから3枚取り出して数字が左から小さい順に横1列に並べる場合の数は，
${}_a C_3=\dfrac{a(a-1)(a-2)}{6}$
したがって，事象 $A$ の起こる確率は，
$\dfrac{\frac{a(a-1)(a-2)}{6}}{a(a-1)(a-2)}=\dfrac{1}{6}$
→ク＝1，ケ＝6

$Y$ は二項分布 $C\left(180, \dfrac{1}{6}\right)$ にしたがうから，
$m=180\cdot \dfrac{1}{6}=30, \sigma^2=180\cdot\dfrac{1}{6}\cdot \left(1-\dfrac{1}{6}\right)=25$
→コサ＝30，シス＝25

$P(18 \leqq Y \leqq 36)=P\left(\dfrac{18-30}{\sqrt{25}} \leqq Z \leqq \dfrac{36-30}{\sqrt{25}} \right)$
$=P\left(-2.40\leqq X \leqq 1.20\right)=0.3849+0.4918=0.8767$
小数第3位を四捨五入して
$P(18 \leqq Y \leqq 36)=0.88$
→セ＝2，ソタ＝40，チ＝1，ツテ＝20，トナ＝88

(3)標本比率を $R$ とすると，
$R=\dfrac{320}{400}=0.8$
ニ＝8
標本の大きさを $n$ ，母比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を $A\leqq p \leqq B$ とすると，
$B \fallingdotseq R+1.96 \sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}=0.8+1.96 \sqrt{\dfrac{0.8\cdot 0.2}{400}}=0.8392$
$A \fallingdotseq R-1.96 \sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}=0.8-1.96 \sqrt{\dfrac{0.8\cdot 0.2}{400}}=0.7608$
したがって，
$0.76\leqq p \leqq 0.84$
→ヌネ＝76，ノハ＝84

上記より，
$L=B-A=2\cdot 1.96 \sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}$
$=3.92\cdot \sqrt{\dfrac{\frac{1}{16}-\left(\frac{1}{4}-R\right)^{2}}{n}}$
よって， $R$ が大きいほど，また， $n$ が大きいほど $L$ は小さくなる
したがって，
$L_{3}＜L_{1}＜L_{2}$
→ヒ＝4

ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学II・数学B　第5問