2020年度　センター試験　数学I・数学A　第1問

〔1〕
(1)
$\ell$ の傾きは, $a^2-2a-8$ だから,
$a^2-2a-8 < 0$
$\Leftrightarrow (a+2)(a-4) < 0$
$\Leftrightarrow -2 < a < 4$
→アイ=-2, ウ=4

(2)
$(x, y) = (b, 0)$ を代入して,
$0=(a^2-2a-8)b+a$
$\Leftrightarrow b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$

$a > 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow -2 < a < 4$
$\therefore 0< a < 4$
$a\leqq 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow a < -2, a> 4$
$\therefore a < -2$

また, $a=\sqrt{3}$ のとき,
$(a+2)(a-4)=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-4)$
$=3-2\sqrt{3}-8=-(5+2\sqrt{3})$
$\therefore b = -\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}}$
$=\dfrac{(5-2\sqrt{3})\sqrt{3}}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3})}$
$=\dfrac{5\sqrt{3}-6}{13}$

→エ=0, オ=4, カキ=-2, ク=5, ケ=3, コ=6, サシ=13

〔2〕
(1)
$32 \in P, 32 \in \bar{Q}, 32 \in \bar {R}$
$\therefore 32 \in P \cap Q \cap \bar{R}$
→ス=2

(2)
$P \cap Q = \{x| xは12の倍数 \}$
$\therefore 12$
また, $12 \notin R$
→セソ=12, タ=4

(3)
$12 \in P, 12 \in Q, 12 \in \bar {R}$
$\therefore 12は「(p かつq) \Rightarrow r」の反例$
→チ=3

〔3〕
(1)
$G$ は2点 $(c, 0), (c+4, 0)$ を通るから,
$y=(x-c)\{x-(c+4)\}=x^2-2(c+2)x+c(c+4)$
→ツ=2, テ=4

$x=3$ のとき, $y=(3-c)\{3-(c+4)\}=(c-3)(c+1)$
よって, 2点 $(3, 0), (3, -3)$ を両端とする線分と $G$ が共有点をもつとき,
$-3 \leqq (c-3)(c+1) \leqq 0$
$\Leftrightarrow -1 \leqq c \leqq 0, 2 \leqq c \leqq 3$

→ト=1, ナ=0, ニ=2, ヌ=3

(2)
$G$ が $(3, -1)$ を通るとき,
$-1=9-2(c+2)\cdot 3 +c(c+4)$
$\Leftrightarrow c^2 -2c -2 =0$
$\Leftrightarrow c=1\pm \sqrt{3}$
$2 \leqq c \leqq 3$ より, $c = 1 + \sqrt{3}$