2020年度　センター試験　数学I・数学A　第2問

〔1〕
f:id:coco_math_1801:20200119223435j:plain:w300
余弦定理より,
$BD^2 =(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 -2\cdot \sqrt{2} \cdot 2\cdot 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow BD = 2$

余弦定理より,
$\cos{\angle{BDC}} = \dfrac{BD^2 + CD^2 -BC^2}{2\cdot BD \cdot CD}$
$=\dfrac{2^2+(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2\cdot 2 \cdot \sqrt{2}}$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos{\angle{ADC}}=-\cos{\angle{BDC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\therefore \sin{\angle{ADC}}$
$= \sqrt{1-\left( \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \right)^2}$
$=\dfrac{\sqrt{14}}{4}$
→ア=2, イウ=14, エ=4

角の二等分線の性質より,
$\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}$
$=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}$
$= \sqrt{2}$

$AD = x$ とおくと, 余弦定理より,
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2\cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle{ADC}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}x)^2 = x^2 + (\sqrt{2})^2 -2 \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=1, -2$
$AD > 0$ より, $AD = 1$

正弦定理より,
$\dfrac{CD}{\sin{\angle{DBC}}}=\dfrac{BC}{\sin{\angle{BDC}}}$
$\Leftrightarrow \sin{\angle{DBC}}= \sin{\angle{BDC}}\cdot \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{14}}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{8}$

$\triangle{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とおくと,
$R = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{AC}{\sin{\angle{ABC}}}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{8}{\sqrt{14}}$
$= \dfrac{4\sqrt{7}}{7}$

→オ=2, カ=1, キ=4, ク=7, ケ=7

〔2〕
(1)
0→平均値が第1四分位数と第3四分位数の間にあるとは限らない
1→四分位範囲は標準偏差より大きいとは限らない
2→中央値より小さい観測値の個数は49個とは限らない
3→最大値に等しい観測値を1個削除しても, 第1四分位数は小さい方から24番目と25番目の観測値の平均のまま
4→第1四分位数より小さい観測値と第3四分位数より大きい観測値をすべて削除するしても, 残りの観測値の個数が51個とは限らない
5→第1四分位数より小さい観測値と, 第3四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると, 残りの観測値からなるデータの範囲は元のデータの四分位範囲に等しい

→コ, サ=3, 5

(2)
I→例えばP10の四分位範囲は1を超えるので誤り
II→例えばP10の中央値はP11の中央値より大きいので誤り
III→P1の最大値は約79.4, P47の最小値は約81.2で, その差は1.8のため正しい

→シ=6

(3)
ヒストグラムより,
最小値は79.5以上80.0未満
最大値は81.5以上82.0未満
中央値は80.5以上81.0未満
これを満たすのは4のみ
→ス=4

(4)
傾き1の直線の左から1本目と2本目の間には3点あるが,
これは男女の平均寿命の差が7.0以上7.5未満の都道府県が3つあることを表す
上記を満たすヒストグラムは3のみ
→セ=3