ココマス

数学・算数関連を気ままに

2020年度　センター試験　数学I・数学A　第5問

センター試験

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チェバの定理より,
\dfrac{GB}{AG}\cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} = 1
\Leftrightarrow \dfrac{GB}{AG} =\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7}{1} = 1

メネラウスの定理より,
\dfrac{FD}{AF} \cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CB}{BD}=1\Leftrightarrow \dfrac{FD}{AF} = \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{8}

\dfrac{FC}{GF} \cdot \dfrac{GA}{AB} \cdot \dfrac{BD}{DC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{FC}{GF} = \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{7}

→ア=1, イ=1, ウ=8, エ=2, オ=7

\therefore \dfrac{\triangle{CDG}}{\triangle{BFG}}
=\dfrac{\dfrac{DC}{BC}\cdot \triangle{GBC}}{\dfrac{GF}{GC}\cdot \triangle{GBC}}=\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{9}{56}
→カ=9, キク=56

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方べきの定理より,
AG\cdot AB = AF\cdot AD \Leftrightarrow AB = \sqrt{2\cdot 8 \cdot 9} = 12

AE = 3\sqrt{7}のとき,
AE \cdot AC = \dfrac{8}{7} AE^2 = \dfrac{8}{7} \left(3\sqrt{7} \right)^2 =72

→ケコ=12, サシ=72

また, AG \cdot AB = 6 \cdot 12 = 72 より,
AE \cdot AC = AG \cdot AB
\therefore方べきの定理の逆より,
4点G, B, C, Eは同一円上にある
\therefore \angle{AEG} = \angle{GBC} = \angle{ABC}
→ス=2