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平成29年度大阪府立高校入試数学 B問題大問3

大阪府立高校入試

(1)
$\triangle$ EBCは正方形ABCDの面積の半分であり、 $\triangle$ ABCの面積と等しい

よって、答えはエ

(2)
$\triangle$ DEBと $\triangle$ FDBにおいて、

$\angle$ DBE= $\angle$ FBD（共通）

$\angle$ EDB $=45^\circ$

AB=AD=AF=3より、3点B、D、Fは点Aを中心とする同一円周上にある

弧BDについて円周角の定理より、

$\angle$ DFB $=\dfrac{1}{2}\angle$ DAB $=45^\circ$

よって、 $\angle$ EDB $=\angle$ DFB

2組の角がそれぞれ等しいから、

$\triangle$ DEB∽ $\triangle$ FDB

(3)
①
$\triangle$ DEB∽ $\triangle$ FDBより、

DB:FB=EB:DB

$\triangle$ ABEにおいて三平方の定理より、

EB $=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

よって、 $3\sqrt{2}:$ FB $=\sqrt{10}:3\sqrt{2}$

したがって、FB $=\dfrac{18}{\sqrt{10}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$

FE $=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}-\sqrt{10}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

②
$\triangle$ ABFにおいて、点AからBFに下ろした垂線の足をHとおくと、

BH=HF= $\dfrac{9\sqrt{10}}{10}$

三平方の定理より、AH $=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{9\sqrt{10}}{10}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

よって、 $\triangle$ ABF $=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{9\sqrt{10}}{10}\times \dfrac{3\sqrt{10}}{10}=\dfrac{27}{10}$

ACとBFの交点をPとおくと、AP:CP=AE:CB=1:3

したがって、 $\triangle$ FBC $=3\times \dfrac{27}{10}=\dfrac{81}{10}$