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数学・算数関連を気ままに

2019年度　センター試験　数学I・数学A　第3問

センター試験

(1)
1回目の操作で, 赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}
1回目の操作で, 白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
→ア=4, イ=9, ウ=1, エ=6

(2)
2回目の操作が白い袋で行われる確率は, 1回目の操作で白球が取り出される確率である

1回目の操作で, 赤い袋が選ばれ白球が取り出される確率は
\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}
1回目の操作で, 白い袋が選ばれ白球が取り出される確率は
\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
よって, 求める確率は
\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{18}
→オ=7, カキ=18

(3)
1回目の操作で白球を取り出す確率をp=\dfrac{7}{18}とおくと,
1回目の操作で赤球を取り出す確率は1-pと表せる

1回目の操作で白球を取り出し, 2回目の操作（白い袋から取り出す）で白球が取り出される確率は
p\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}p
1回目の操作で赤球を取り出し, 2回目の操作（赤い袋から取り出す）で白球が取り出される確率は
(1-p)\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}(1-p)
よって, 2回目の操作で白球が取り出される確率は
\dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{3}(1-p)=\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}
=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{7}{18}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{43}{108}
→ク=1, ケ=6, コサ=43, シスセ=108

同様に考えて,
2回目の操作で白球を取り出し, 3回目の操作（白い袋から取り出す）で白球が取り出される確率は
\left(\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{p+2}{12}
2回目の操作で赤球を取り出し, 3回目の操作（赤い袋から取り出す）で白球が取り出される確率は
\left\{1-\left(\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}\right)\right\}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{4-p}{18}
よって, 3回目の操作で白球が取り出される確率は
\dfrac{p+2}{12}+\dfrac{4-p}{18}=\dfrac{p+14}{36}=\dfrac{259}{648}
→ソタチ=259, ツテト=648

(4)
2回目の操作で取り出した球が白球の確率は\dfrac{43}{108}
2回目の操作で白い袋から白球を取り出す確率は\dfrac{1}{2}p=\dfrac{7}{36}
よって, 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき,
その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は,
\dfrac{\frac{7}{36}}{\frac{43}{108}}=\dfrac{21}{43}
→ナニ=21, ヌネ=43

3回目の操作で取り出した球が白球の確率は\dfrac{259}{648}
3回目の操作ではじめて白球を取り出す確率は,
1回目に赤球, 2回目（赤い袋から取り出す）に赤球, 3回目（赤い袋から取り出す）に白球を取り出す確率だから,
(1-p)\cdot \dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{11}{81}
よって, 3回目の操作で取り出した球が白球であったとき,
はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は,
\dfrac{\frac{11}{81}}{\frac{259}{648}}=\dfrac{88}{259}
→ノハ=88, ヒフヘ=259