2020-02-06

2020年度　センター試験　数学II　第4問

(1)
$t=x+\dfrac{3}{x}$ のとき,
$t^2 = x^2 + 6 + \dfrac{9}{x^2}$ より,
$2x^2-7x+8-\dfrac{21}{x}+\dfrac{18}{x^2}=0$
$\Leftrightarrow 2\left(x^2+\dfrac{9}{x^2} \right) -7\left(x+\dfrac{3}{x}\right) +8=0$
$\Leftrightarrow 2t^2-7t -4=0$
$\Leftrightarrow (2t+1)(t-4)=0$
$t=4, \dfrac{-1}{2}$

$t=4$ のとき,
$x+\dfrac{3}{x} =4$
$\Leftrightarrow x^2-4x+3=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$
$\Leftrightarrow x = 1, 3$

$t = -\dfrac{1}{2}$ のとき,
$x+\dfrac{3}{x}=-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2x^2+x+6=0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2 \cdot 6}}{2\cdot 2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{47}}{4}$

→ア=2, イ=7, ウ=4, エ=4, オカ=-1, キ=2, ク=1, ケ=3, コサ=-1, シス=47, セ=4

(2)
$(\alpha -1)^2 = (-\sqrt{3}i)^2 = -3$
$\Leftrightarrow \alpha ^2 -2\alpha +4 =0$

$P(x) = 2x^4-7x^3+8x^2-21x+18$
$= (2x^2-3x-6)(x^2-2x+4)-21(x-2)$
$\therefore$ 商は $2x^3-3x-6$
余りは $-21(x-2)$

$\therefore P(\alpha) = -21(\alpha-2) = 21(1+\sqrt{3}i)$

→ソタ=-3, チ=2, ツ=4, テ=2, ト=3, ナ=6, ニヌネ=-21, ノ=2, ハヒ=21, フ=1

2020-02-05

2020年度　センター試験　数学II　第3問

センター試験

(1)
$\ell$ の方程式は,
$y=mx+6$
円 $C$ の方程式は,
$x^2 + (y-2)^2 = 2^2$
$\Leftrightarrow x^2 +(y-2)^2+4$

→ア=6, イ=2, ウ=4

(2)
$\ell$ と $C$ が接するとき,
$y=mx+6$ を $x^2+(y-2)^2=4$ に代入して,
$x^2+(mx+4)^2=4$
$\Leftrightarrow (m^2+1)x^2+8mx+12=0$ が重解をもつので,
判別式を $D$ とおくと,
$D/4 =(4m)^2-12(m^2+1) = 4(m^2-3)=0$
$\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$

$m=-\sqrt{3}$ のとき,
$x = -\dfrac{4m}{m^2+1} = \sqrt{3}$
$y = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} +6 = 3$
よって, 接点の座標は
$\left(\sqrt{3}, 3 \right)$

→エ=3, オ=3, カ=3

(3)
$\ell$ と $C$ が異なる2点で交わるとき,
$D/4=4(m^2-3)>0$
$\Leftrightarrow -\sqrt{3} < m, m < \sqrt{3}$
これを満たす最小の正の整数は
$m = 2$

→キ=2

(4)
f:id:coco_math_1801:20200126220327j:plain:w300
$\ell$ が $(3, 0)$ を通るとき,
$0 = m \cdot 3 + 6$
$\Leftrightarrow m = -2$
$y=-2x+6$ を $x^2+(y-2)^2=4$ に代入して,
$x^2+(-2x+4)^2=4$
$\Leftrightarrow 5x^2-16+12=0$
$\Leftrightarrow (5x-6)(x-2)=0$
$x=\dfrac{6}{5}, 2$
$y=-2\cdot \dfrac{6}{5}+6 = \dfrac{18}{5}, y = -2\cdot 2 + 6 =2$
$\therefore D \left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{18}{5} \right), E \left(2, 2\right)$

$\triangle{OAB} = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9$

$AD :DE:EB = \left(\dfrac{6}{5}-0\right) : \left(2-\dfrac{6}{5} \right) : \left( 3-2 \right)=6:4:5$

$\therefore S = \triangle{OAB} \cdot \dfrac{4}{6+4+5}=\dfrac{12}{5}$

→クケ=-2, コ=6, サ=5, シス=18, セ=5, ソ=2, タ=2, チ=9, ツ=6, テ=4, トナ=12, ニ=5

2020-02-04

2020年度　センター試験　数学II　第2問

センター試験

(1)
$y =x^2+2x+1$ より,
$y' = 2x +2$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = (2t+2) (x-t) + t^2+2t+1$
$=(2t+2)x-t^2+1$

$f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ より,
$f'(x) = 2x -2(2a-1)$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = f'(s) (x-s) +f(s)$
$= \{ 2s-2(2a-1) \} (x-s) + s^2 -(4a-2)s +4a^2 +1$
$= (2s-4a+2)x -s^2 + 4a^2 +1$

係数を比較して,
$2t+2 = 2s-4a+2 \Leftrightarrow s = t+2a$
$-t^2+1 = -s^2+4a^2+1 \Leftrightarrow s^2 -t^2-4a^2 =0$

これを解いて,
$t = 0, s=2a$
$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = 2x+1$

→ア=2, イ=2, ウ=1, エ=2, オ=4, カ=2, キ=4, ク=1, ケ=0, コ=2, サ=2, シ=1

(2)
$y =x^2+2x+1$ と $y=f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ を解くと,
$(x, y) =(a, a^2+2a+1)$

f:id:coco_math_1801:20200121212755j:plain:w300

$C$ と $\ell$ の交点は,
$y=x^2+2x+1$ と $y=2x+1$ を解いて,
$(x, y) = (0, 1)$

$\therefore S = \displaystyle \int_{0}^{a} \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx$
$= \displaystyle \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} = \dfrac{a^{3}}{3}$

→ス=a, セ=3, ソ=3

(3)
f:id:coco_math_1801:20200121213414j:plain:w300
$C, D$ の交点は $(a, a^2+2a+1)$ より,
$a > 1$ のとき,
$T = \displaystyle \int_{0}^{1} \{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ のとき,
$\displaystyle T = \int_{0}^{a}\{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx$
$\displaystyle +\int_{a}^{1}[ \{ x^2-(4a-2)x+4a^2+1 \} - (2x+1) ] dx$
$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} + \left[ \dfrac{1}{3}(x-2a)^{3} \right]_{a}^{1}$
$= -2a^3 + 4a^2 -2a + \dfrac{1}{3}$

→タ=1, チ=1, ツ=3, テ=2, ト=4, ナ=2, ニ=1, ヌ=3

(4)
$U = 2T-3S$
$= 2\left(-2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3}\right) -3\cdot \dfrac{1}{3}a^3$
$= -5a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{dU}{da} = -15a^2 +16a -4$
$=-(3a-2)(5a-2)$
$\therefore U$ は $a=\dfrac{2}{3}$ で最大値
$U=-5\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+8\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
$= \dfrac{2}{27}$ をとる

→ネ=2, ノ=3, ハ=2, ヒフ=27

2020-02-03

2020年度　センター試験　数学II　第1問

センター試験

〔1〕
(1)
加法定理より,
$\sqrt{3}\cos {\left(\theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$= \sqrt{3} \cos {\theta} \cos {\dfrac{\pi}{3}} +\sqrt{3} \sin{\theta} \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\therefore \sin{\theta} > \sqrt{3} \cos{\left( \theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} > \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} < 0$
$\sin{\left( \theta + \dfrac{\pi}{3} \right)} < 0$
$\Leftrightarrow \pi < \theta + \dfrac{\pi}{3} < 2\pi$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\pi < \theta < \dfrac{5}{3}\pi$

→ア=3, イ=2, ウ=3, エ=3, オ=2, カ=3, キ=5, ク=3

(2)
解と係数の関係より,
$\sin{\theta} + \cos{\theta} = \dfrac{35}{25} =\dfrac{7}{5}$
$\sin{\theta} \cos{\theta} = \dfrac{k}{25}$
$\therefore k = 25\cdot \sin{\theta}\cos{\theta}$
$=25 \cdot \dfrac{\left( \sin{\theta} + \cos{\theta} \right)^2-1}{2}$
$= 25 \cdot \dfrac{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2-1}{2}$
$= 12$

このとき,
$25x^2 -35x +k = 0$
$\Leftrightarrow (5x-3)(5x-4) =0$
$x = \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}$

$\therefore \sin{\theta} \geqq \cos{\theta}$ のとき,
$\sin{\theta} = \dfrac{4}{5}, \cos{\theta} = \dfrac{3}{5}$

このとき, $\sin{\dfrac{\pi}{4}} < \sin{\theta} < \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$\therefore \dfrac{\pi}{4} \leqq \theta < \dfrac{\pi}{3}$

→ケコ=12, サ=4, シ=5, ス=3, セ=5, ソ=3

〔2〕
(1)
$t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} = -3$ のとき,
$t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} = \left(t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) ^2 +2$
$= 11$

$t^{\frac{1}{3}} + t^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} +2}$
$\sqrt{13}$

$t - t^{-1}$
$= \left( t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) \left( t^{\frac{2}{3}} + 1 + t^{-\frac{2}{3}} \right)$
$= -3 \cdot 12 = -36$

→タチ=11, ツテ=13, トナニ=-36

(2)
$\log_{3}{\left(x\sqrt{y} \right)}$
$= \log_{3}{x} +\dfrac{1}{2}\log_{3}{y}$
$\therefore \log_3{\left(x\sqrt{y} \right)} \leqq 5$
$\Leftrightarrow 2X + Y \leqq 10$

$\log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}}$
$=\dfrac{\log_{3}{y} - 3\log_{3}{x}}{\log_{3}{81}}$
$= -\dfrac{3\log_{3}{x} - \log_{3}{y}}{4}$
$\therefore \log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}} \leqq 1$
$\Leftrightarrow 3X-Y \geqq -4$

f:id:coco_math_1801:20200121204654j:plain:w300

上図より, $Y$ のとり得る最大の整数の値は $7$

$Y = 7$ のとき,
$2X + Y \leqq 10 \Leftrightarrow X \leqq \dfrac{3}{2}$
$3X-Y \geqq -4 \Leftrightarrow X \geqq 1$
$\therefore 1 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 3 \leqq x \leqq 3^\frac{3}{2}$
これを満たす最大の整数の値は
$x = 5$

→ヌ=2, ネノ=10, ハ=3, ヒフ=-4, ヘ=7, ホ=5

2020-02-02

2020年度　センター試験　数学I　第4問

センター試験

(1)
0→平均値が第1四分位数と第3四分位数の間にあるとは限らない
1→四分位範囲は標準偏差より大きいとは限らない
2→中央値より小さい観測値の個数は49個とは限らない
3→最大値に等しい観測値を1個削除しても, 第1四分位数は小さい方から24番目と25番目の観測値の平均のまま
4→第1四分位数より小さい観測値と第3四分位数より大きい観測値をすべて削除するしても, 残りの観測値の個数が51個とは限らない
5→第1四分位数より小さい観測値と, 第3四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると, 残りの観測値からなるデータの範囲は元のデータの四分位範囲に等しい

→ア, イ=3, 5

(2)
I→例えばP10の四分位範囲は1を超えるので誤り
II→例えばP10の中央値はP11の中央値より大きいので誤り
III→P1の最大値は約79.4, P47の最小値は約81.2で, その差は1.8のため正しい

→ウ=6

(3)
ヒストグラムより,
最小値は79.5以上80.0未満
最大値は81.5以上82.0未満
中央値は80.5以上81.0未満
これを満たすのは4のみ
→エ=4

(4)
傾き1の直線の左から1本目と2本目の間には3点あるが,
これは男女の平均寿命の差が7.0以上7.5未満の都道府県が3つあることを表す
上記を満たすヒストグラムは3のみ
→オ=3

(5)
$V = \dfrac{20.1}{27.2} = 0.738\cdots > 0.509$
データを100倍すると, 平均は100倍, 標準偏差は100倍になるので,
変動係数は変わらない
データすべてに100を加えると, 平均はプラス100, 標準偏差は変わらないので,
変動係数は小さくなる

→カ=2, キ=1, ク=0

2020-02-01

2020年度　センター試験　数学I　第3問

センター試験

(1)
f:id:coco_math_1801:20200126185019j:plain:w300
余弦定理より,
$\cos{\angle{ABC}} = \dfrac{AB^{2}+BC^{2}-CA^{2}}{2\cdot AB\cdot BC} = \dfrac{25+36-21}{2\cdot 5\cdot 6} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$

$\sin{\angle{ABC}} = \sqrt{1-\left( \dfrac{2}{3} \right) ^{2}} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\triangle{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot BC \cdot \sin{\angle{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} = 5\sqrt{5}$

→ア=2, イ=3, ウ=5, エ=3, オ=5, カ=5

(2)
f:id:coco_math_1801:20200126190049j:plain:w300
(i)
$\cos{\angle{DIG}} = \dfrac{3}{5}$ より,
$IG: GD: DI = 3: 4: 5$
$\therefore DI = GD \dfrac{5}{4} = 10$
$IG = GD \dfrac{3}{4} = 6$
$IF =GF - IG = 8-6 = 2$

$\tan{\angle{FIH}} = 2$ より,
$IF:FH:HI = 1:2:\sqrt{5}$
$\therefore HI = IF \cdot sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

→キ=3, ク=1

(ii)
$DH = \sqrt{HE^{2}+DE^{2}} =\sqrt{4^{2}+8^{2}} = 4\sqrt{5}$

$HF: FI: IH =2:1:\sqrt{5}$
$DE:EH:HD = 8:4:4\sqrt{5} =2:1:\sqrt{5}$
$DG:GI:ID = 8:6:10=4:3:5$
$DH:HI:ID =4\sqrt{5}:2\sqrt{5}:10 = 2:1:\sqrt{5}$
$\therefore \triangle{HFI}$ と相似なものは,
$\triangle{DEH}$ と $\triangle{DHI}$
また, $\tan{\angle{DIG}}=\dfrac{8}{6} =\dfrac{4}{3}$
$\tan{\angle{DIH}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} =2$
$\therefore \tan{\angle{DIG}} < \tan{\angle{DIH}}$ より,
$\angle{DIG} < \angle{DIH}$

→ケ=1, コ=3

(iii)
f:id:coco_math_1801:20200126192634j:plain:w300
$\angle{DHI} = 90^{\circ}$ より, $DI$ は外接円の直径
$\therefore$ 外接円の半径は,
$\dfrac{1}{2} \cdot DI = 5$

$\triangle{DHI}=\dfrac{1}{2} \cdot DH \cdot HI = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 20$
内接円の半径を $r$ とおくと,
$\dfrac{1}{2}\left(DH+HI+ID \right)r =20$
$\Leftrightarrow r = \dfrac{2\cdot 20}{4\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10}=\dfrac{40}{2\sqrt{5}(3+\sqrt{5})}=\dfrac{4\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}{4} =3\sqrt{5}-5$

→サ=5, シ=3, ス=5, セ=5

(3)
f:id:coco_math_1801:20200126195923j:plain:w300
$DJ = \sqrt{\left(4\sqrt{5} \right)^{2} + 8^{2}} = 12$

f:id:coco_math_1801:20200126195031j:plain:w300
$IJ =\sqrt{8^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2} = 2\sqrt{21}$

f:id:coco_math_1801:20200126200139j:plain:w300
$\triangle{IDJ}$ は $\triangle{ABC}$ を2倍に拡大したものだから,
$\triangle{IDJ} = 2^{2} \cdot \triangle{ABC} = 4\cdot 5\sqrt{5}=20\sqrt{5}$

四面体 $JDHI$ の体積を $V$ とおくと,
$V = \dfrac{1}{3}\triangle{DHI} \cdot HJ = \dfrac{1}{3}\triangle{IDJ}\cdot HK$
$\Leftrightarrow HK = HJ \cdot \dfrac{\triangle{DHI}}{\triangle{IDJ}}=8\cdot \dfrac{20}{20\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$

→ソタ=20, チ=5, ツ=8, テ=5, ト=5

2020-01-31

2020年度　センター試験　数学I　第2問

センター試験

〔1〕
(1)
$x^{2}+ax+b$ の判別式を $D$ とおくと,
$D = a^{2}-4b$
0→ $F$ は, 下に凸の放物線
1→ $F$ は, 下に凸の放物線
2→ $a^{2} > 4b \Leftrightarrow D > 0$ より, $F$ と $x$ 軸は2点共有点をもつ
3→ $a^{2} < 4b \Leftrightarrow D > 0$ より, $F$ と $x$ 軸は共有点をもたない
4→ $a^{2} > 4b$ のとき, $F$ と $y$ 軸が共有点をもたないとは限らない
5→ $a^{2} < 4b$ のとき, $F$ と $y$ 軸が共有点をもたないとは限らない

→ア, イ = 1, 3

(2)
$y = x^{2}+2x-1 = (x+1) ^{2} -2$ より,
$x = 2$ のとき最大値 $y = 7$
$x=-1$ のとき最小値 $y = -2$ をとる

→ウ=6

〔2〕
(1)
$G$ は2点 $(c, 0), (c+4, 0)$ を通るから,
$y=(x-c)\{x-(c+4)\}=x^2-2(c+2)x+c(c+4)$

→エ=2, オ=4

$(x, y)=(3, k)$ を代入すると,
$k=(3-c)\{3-(c+4)\}=(c-3)(c+1) = (c-1)^{2} -4$
よって, $c$ が実数全体を動くとき,
$k$ のとり得る最小値は $-4$

また, $-3 \leqq k \leqq 0$ のとき,
$-3 \leqq (c-3)(c+1) \leqq 0$
$\Leftrightarrow -1 \leqq c \leqq 0, 2 \leqq c \leqq 3$

→カ=1, キ=4, クケ=-4, コ=1, サ=0, シ=2, ス=3

(2)
$G$ が $(3, -1)$ を通るとき,
$-1=9-2(c+2)\cdot 3 +c(c+4)$
$\Leftrightarrow c^2 -2c -2 =0$
$\Leftrightarrow c=1\pm \sqrt{3}$
$2 \leqq c \leqq 3$ より, $c = 1 + \sqrt{3}$