2020-01-30

2020年度　センター試験　数学I　第1問

〔1〕
(1)
$\ell$ の傾きは, $a^2-2a-8$ だから,
$a^2-2a-8 < 0$
$\Leftrightarrow (a+2)(a-4) < 0$
$\Leftrightarrow -2 < a < 4$
→アイ=-2, ウ=4

(2)
$(x, y) = (b, 0)$ を代入して,
$0=(a^2-2a-8)b+a$
$\Leftrightarrow b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$

$a > 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow -2 < a < 4$
$\therefore 0< a < 4$
$a\leqq 0$ の場合,
$b=-\dfrac{a}{(a+2)(a-4)} > 0\Leftrightarrow a < -2, a> 4$
$\therefore a < -2$

また, $a=\sqrt{3}$ のとき,
$(a+2)(a-4)=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-4)$
$=3-2\sqrt{3}-8=-(5+2\sqrt{3})$
$\therefore b = -\dfrac{a}{(a+2)(a-4)}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}}$
$=\dfrac{(5-2\sqrt{3})\sqrt{3}}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3})}$
$=\dfrac{5\sqrt{3}-6}{13}$

→エ=0, オ=4, カキ=-2, ク=5, ケ=3, コ=6, サシ=13

(3)
$|f(1)+f(-1) |=2 |a | =1$
$\Leftrightarrow a = \pm \dfrac{1}{2}$
$a<0$ より,
$a= \dfrac{-1}{2}$

このとき,
$f(x) = \left\{ \left(-\dfrac{1}{2} \right)^{2} -2\cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) -8 \right\} x -\dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{27}{4}x -\dfrac{1}{2}$

$\therefore -2 \leqq x \leqq 2$ のとき,
$f(2) \leqq f(x) \leqq f(-2)$
$\Leftrightarrow -14 \leqq f(x) \leqq 13$

→スセ=-1, ソ=2, タチツ=-14, テト=13

〔2〕
(1)
$32 \in P, 32 \in \bar{Q}, 32 \in \bar {R}$
$\therefore 32 \in P \cap Q \cap \bar{R}$

$50 \in \bar{P}, 50 \in \bar{Q}, 50 \in \bar{R}$
$\therefore 50 \in \bar{P} \cap \bar{Q} \cap \bar{R}$

→ナ=2, ニ=5

(2)
$P \cap Q = \{x| xは12の倍数 \}$
$\therefore 12$
また, $12 \notin R$
→ヌネ=12, ノ=4

(3)
$12 \in P, 12 \in Q, 12 \in \bar {R}$
$\therefore 12は「(p かつq) \Rightarrow r」の反例$
→ハ=3

2020-01-29

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第5問

センター試験

(1)
$E(X) = 1\cdot \dfrac{54}{720} +2\cdot \dfrac{36}{720} +3\cdot \dfrac{18}{720} = \dfrac{54+72+54}{720} = \dfrac{1}{4}$
$E(X^{2}) = 1^{2} \cdot \dfrac{54}{720} +2^{2} \cdot \dfrac{36}{720} +3^{2} \cdot \dfrac{18}{720} =\dfrac{54+144+162}{720} = \dfrac{1}{2}$
$\therefore \sigma(X) = \sqrt{E(X^{2})-\{E(X) \}^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{2} -\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$

→ア=1, イ=4, ウ=1, エ=2, オ=7, カ=4

(2)
$p=0.4$ のとき,
$E(Y) = 600\cdot 0.4 = 240$
$\sigma(Y) = \sqrt{600\cdot 0.4\cdot (1-0.4) }= 12$

$\therefore$ 求める確率 $P(Y\leqq 215)$ は, 正規分布表を用いて,
$P(Y\leqq 215) = P(Z\leqq \dfrac{215-240}{12}) \approx P(Z \leqq -2.08) =0.5-0.4812=0.0188 \approx 0.02$

$p=0.2$ のとき,
$Y$ の平均は $\dfrac{600\cdot 0.2}{600\cdot 0.4}=\dfrac{1}{2}$ 倍,
標準偏差は, $\sqrt{\dfrac{600\cdot 0.2\cdot (1-0.2)}{600\cdot 0.4\cdot (1-0.4)}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ 倍

→キクケ=240, コサ=12, シス=02, セ=2, ソ=6

(3)
$E(U_{i}) = E(W_{i})-60 = m-60$
$\sigma(U_{i}) = \sigma(W_{i}) = 30$

$\bar{U} = \displaystyle \dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} U_{i}$ は, 平均 $t$ ,分散 $\dfrac{30^{2}}{100}=9$ の正規分布に従うため, 正規分布表より,
$P\left( \left|\dfrac{\bar{U}-t}{\sqrt{9}} \right| \leqq 1.96 \right)\approx 0.95$

$\therefore \left|t-50 \right| \leqq 1.96 \cdot 3$
$\Leftrightarrow 50-5.88\leqq t \leqq 50+5.88$
$\therefore 44.1 \leqq t \leqq 55.9$

→タチ=60, ツテ=30, トナ.ニ=44.1, ヌネ.ノ=55.9

2020-01-28

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第4問

センター試験

(1)
$| \overrightarrow{OA} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + (-6)^{2}} = 3\sqrt{6}$
$| \overrightarrow{OB} | = \sqrt{ (2+2\sqrt{3} )^{2} + (2-2\sqrt{3} )^{2} + (-4) ^{2} } = 4\sqrt{3}$
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3\cdot (2+2\sqrt{3}) + 3 \cdot (2-2\sqrt{3} ) + (-6) \cdot (-4) = 36$

→ア=3, イ=6, ウ=4, エ=3, オカ=36

(2)
$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$ より,
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$
$\Leftrightarrow s |\overrightarrow{ OA } |^{2} +t \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =0$
$\Leftrightarrow 3s +2t = 0$
$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 24$ より,
$s\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} +t| \overrightarrow{OB} |^{2} =24$
$3s +4t = 2$
これらを解いて,
$s = \dfrac{-2}{3}, t=1$

$\therefore |\overrightarrow{OC}| = \sqrt{s^2 |\overrightarrow{OA}|^{2}+ 2st\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} +t^{2} |\overrightarrow{OB}|^{2} }$
$= \sqrt{24-48+48} = 2\sqrt{6}$
→キク=-2, ケ=3, コ=1, サ=2, シ=6

(3)
$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \left(-\dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right)$
$= \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA} = (2, 2, -4)$

$\therefore \overrightarrow{CB} //\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CB} \ne \overrightarrow{OA}$ より,
四角形OABCは平行四辺形ではないが台形である

また, $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$ より,
四角形OABCの面積は,
$\dfrac{1}{2} \cdot \left(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{CB} |\right) \cdot |\overrightarrow{OC}|$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 30$
→ス=2, セ=2, ソタ=-4, チ=3, ツテ=30

(4)
$D(p, q, 1)$ とおくと,
$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OD}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} =0$
$\Leftrightarrow 3p+3q -6 =0$
$\Leftrightarrow p+q-2=0$

$\overrightarrow{OC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
$=(-2, -2, 4) + (2+2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3}, -4)$
$= (2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, 0)$
$\therefore \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD} = 2\sqrt{3}(p-q) = 2\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow p-q = \sqrt{2}$
これらを解いて,
$p = 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, q = 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore D \left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$

このとき,
$|\overrightarrow{OD}| = \sqrt{\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} + \left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} + 1^{2} } = 2$ より,
$\cos{\angle{COD}} = \dfrac{\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OC}| |\overrightarrow{OD}|}=\dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot 2} = \dfrac{1}{2}$
$\therefore \angle{COD} = 60^{\circ}$

f:id:coco_math_1801:20200122215449j:plain:w300
三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは,
$|\overrightarrow{OD}|\sin{60^{\circ}} = \sqrt{3}$

$\triangle{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{OC} | =\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 12$
$\therefore$ 四面体DABCの体積は,
$\dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

→ト=1, ナ=2, ニ=2, ヌ=1, ネ=2, ノ=2, ハヒ=60, フ=3, ヘ=4, ホ=3

2020-01-27

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第3問

センター試験

(1)
$a_{1} = 0$
$a_{2} = \dfrac{4}{2} (3\cdot 0 + 9 - 2 \cdot 3) =6$

→ア = 6

(2)
$b_{1} = \dfrac{a_{1}}{3\cdot 2 \cdot 3} = 0$
$a_{n+1} = \dfrac{n+3}{n+1} \{ 3a_{n} + 3^{n+1} -(n+1)(n+2) \}$ の両辺を
$3^{n+1}(n+2)(n+3)$ で割ると,
$b_{n+1} = b_{n} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} -\left( \dfrac{1}{3} \right) ^{n+1}$

$\therefore b_{n+1} - b_{n} = \left( \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2} \right) - \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n+1}$

→イ=0, ウ=1, エ=1, オ=2, カ=3, キ=1

$n$ を $2$ 以上の自然数とするとき,
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2} \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^{k+1} = \dfrac{1}{9} \dfrac{ 1-\left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} }{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}$

$\therefore \displaystyle b_{n} = b_{1} + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{\left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2} \right) -\left( \dfrac{1}{3} \right) ^{k+1}\right\}$
$= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{n-1}{n+1} \right) -\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}$
$= \dfrac{n-2}{3(n+1)}+ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right) ^ {n}$
これは $n=1$ のときも成り立つ

→ク=2, ケ=1, コ=1, サ=1, シ=6, ス=1, セ=2, ソ=2, タ=3, チ=1

(3)
(2)より,
$a_{n} = 3^{n}(n+1)(n+2)b_{n}$
$=3^{n-1} (n^{2} -4)+ \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

→ツ=3, テ=1, ト=4, ナ=1, ニ=2, ヌ=3

(4)
$r=0, 1, 2$ のとき,
$a_{3k+r}$ を $3$ で割った余りは,
$\dfrac{(r+1)(r+2)}{2}$ を $3$ で割った余りに等しい
$\therefore a_{3k}, a_{3k+1}, a_{3k+2}$ を $3$ で割った余りは,
$\dfrac{1\cdot 2}{2} =1, \dfrac{2\cdot 3}{2} =3, \dfrac{3\cdot 4} {2} = 6$ よりそれぞれ
$1, 0, 0$

また, $\{a_{n} \}$ の初項から第 $2020$ 項までの和を $3$ で割った余りは
$a_{1} =0, a_{2} = 6,$
$2020 = 3 \cdot 673 + 1 = 2 + 3 \cdot 672 + 2$ より,
$0+0+(1+0+0) \times 672+1+0=673$ を $3$ で割った余りに等しく, $1$

→ネ=1, ノ=0, ハ=0, ヒ=1

2020-01-26

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第2問

センター試験

(1)
$y =x^2+2x+1$ より,
$y' = 2x +2$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = (2t+2) (x-t) + t^2+2t+1$
$=(2t+2)x-t^2+1$

$f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ より,
$f'(x) = 2x -2(2a-1)$

$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = f'(s) (x-s) +f(s)$
$= \{ 2s-2(2a-1) \} (x-s) + s^2 -(4a-2)s +4a^2 +1$
$= (2s-4a+2)x -s^2 + 4a^2 +1$

係数を比較して,
$2t+2 = 2s-4a+2 \Leftrightarrow s = t+2a$
$-t^2+1 = -s^2+4a^2+1 \Leftrightarrow s^2 -t^2-4a^2 =0$

これを解いて,
$t = 0, s=2a$
$\therefore \ell$ の方程式は,
$y = 2x+1$

→ア=2, イ=2, ウ=1, エ=2, オ=4, カ=2, キ=4, ク=1, ケ=0, コ=2, サ=2, シ=1

(2)
$y =x^2+2x+1$ と $y=f(x) = x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ を解くと,
$(x, y) =(a, a^2+2a+1)$

f:id:coco_math_1801:20200121212755j:plain:w300

$C$ と $\ell$ の交点は,
$y=x^2+2x+1$ と $y=2x+1$ を解いて,
$(x, y) = (0, 1)$

$\therefore S = \displaystyle \int_{0}^{a} \{(x^2+2x+1)-(2x+1)\} dx$
$= \displaystyle \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} = \dfrac{a^{3}}{3}$

→ス=a, セ=3, ソ=3

(3)
f:id:coco_math_1801:20200121213414j:plain:w300
$C, D$ の交点は $(a, a^2+2a+1)$ より,
$a > 1$ のとき,
$T = \displaystyle \int_{0}^{1} \{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ のとき,
$\displaystyle T = \int_{0}^{a}\{(x^2+2x+1) - (2x+1) \} dx$
$\displaystyle +\int_{a}^{1}[ \{ x^2-(4a-2)x+4a^2+1 \} - (2x+1) ] dx$
$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} + \left[ \dfrac{1}{3}(x-2a)^{3} \right]_{a}^{1}$
$= -2a^3 + 4a^2 -2a + \dfrac{1}{3}$

→タ=1, チ=1, ツ=3, テ=2, ト=4, ナ=2, ニ=1, ヌ=3

(4)
$U = 2T-3S$
$= 2\left(-2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3}\right) -3\cdot \dfrac{1}{3}a^3$
$= -5a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{dU}{da} = -15a^2 +16a -4$
$=-(3a-2)(5a-2)$
$\therefore U$ は $a=\dfrac{2}{3}$ で最大値
$U=-5\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+8\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
$= \dfrac{2}{27}$ をとる

→ネ=2, ノ=3, ハ=2, ヒフ=27

2020-01-25

2020年度　センター試験　数学II・数学B　第1問

センター試験

〔1〕
(1)
加法定理より,
$\sqrt{3}\cos {\left(\theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$= \sqrt{3} \cos {\theta} \cos {\dfrac{\pi}{3}} +\sqrt{3} \sin{\theta} \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\therefore \sin{\theta} > \sqrt{3} \cos{\left( \theta - \dfrac{\pi}{3} \right)}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} > \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \dfrac{3}{2} \sin{\theta}$
$\Leftrightarrow \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} < 0$
$\sin{\left( \theta + \dfrac{\pi}{3} \right)} < 0$
$\Leftrightarrow \pi < \theta + \dfrac{\pi}{3} < 2\pi$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\pi < \theta < \dfrac{5}{3}\pi$

→ア=3, イ=2, ウ=3, エ=3, オ=2, カ=3, キ=5, ク=3

(2)
解と係数の関係より,
$\sin{\theta} + \cos{\theta} = \dfrac{35}{25} =\dfrac{7}{5}$
$\sin{\theta} \cos{\theta} = \dfrac{k}{25}$
$\therefore k = 25\cdot \sin{\theta}\cos{\theta}$
$=25 \cdot \dfrac{\left( \sin{\theta} + \cos{\theta} \right)^2-1}{2}$
$= 25 \cdot \dfrac{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2-1}{2}$
$= 12$

このとき,
$25x^2 -35x +k = 0$
$\Leftrightarrow (5x-3)(5x-4) =0$
$x = \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}$

$\therefore \sin{\theta} \geqq \cos{\theta}$ のとき,
$\sin{\theta} = \dfrac{4}{5}, \cos{\theta} = \dfrac{3}{5}$

このとき, $\sin{\dfrac{\pi}{4}} < \sin{\theta} < \sin{\dfrac{\pi}{3}}$
$\therefore \dfrac{\pi}{4} \leqq \theta < \dfrac{\pi}{3}$

→ケコ=12, サ=4, シ=5, ス=3, セ=5, ソ=3

〔2〕
(1)
$t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} = -3$ のとき,
$t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} = \left(t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) ^2 +2$
$= 11$

$t^{\frac{1}{3}} + t^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} +2}$
$\sqrt{13}$

$t - t^{-1}$
$= \left( t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} \right) \left( t^{\frac{2}{3}} + 1 + t^{-\frac{2}{3}} \right)$
$= -3 \cdot 12 = -36$

→タチ=11, ツテ=13, トナニ=-36

(2)
$\log_{3}{\left(x\sqrt{y} \right)}$
$= \log_{3}{x} +\dfrac{1}{2}\log_{3}{y}$
$\therefore \log_3{\left(x\sqrt{y} \right)} \leqq 5$
$\Leftrightarrow 2X + Y \leqq 10$

$\log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}}$
$=\dfrac{\log_{3}{y} - 3\log_{3}{x}}{\log_{3}{81}}$
$= -\dfrac{3\log_{3}{x} - \log_{3}{y}}{4}$
$\therefore \log_{81}{\dfrac{y}{x^{3}}} \leqq 1$
$\Leftrightarrow 3X-Y \geqq -4$

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上図より, $Y$ のとり得る最大の整数の値は $7$

$Y = 7$ のとき,
$2X + Y \leqq 10 \Leftrightarrow X \leqq \dfrac{3}{2}$
$3X-Y \geqq -4 \Leftrightarrow X \geqq 1$
$\therefore 1 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 3 \leqq x \leqq 3^\frac{3}{2}$
これを満たす最大の整数の値は
$x = 5$

→ヌ=2, ネノ=10, ハ=3, ヒフ=-4, ヘ=7, ホ=5

2020-01-24

2020年度　センター試験　数学I・数学A　第5問

センター試験

f:id:coco_math_1801:20200120215609j:plain:w300

チェバの定理より,
$\dfrac{GB}{AG}\cdot \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{GB}{AG} =\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7}{1} = 1$

メネラウスの定理より,
$\dfrac{FD}{AF} \cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CB}{BD}=1\Leftrightarrow \dfrac{FD}{AF} = \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{FC}{GF} \cdot \dfrac{GA}{AB} \cdot \dfrac{BD}{DC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{FC}{GF} = \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{7}$

→ア=1, イ=1, ウ=8, エ=2, オ=7

$\therefore \dfrac{\triangle{CDG}}{\triangle{BFG}}$
$=\dfrac{\dfrac{DC}{BC}\cdot \triangle{GBC}}{\dfrac{GF}{GC}\cdot \triangle{GBC}}=\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{9}{56}$
→カ=9, キク=56

f:id:coco_math_1801:20200120222037j:plain:w300

方べきの定理より,
$AG\cdot AB = AF\cdot AD \Leftrightarrow AB = \sqrt{2\cdot 8 \cdot 9} = 12$

$AE = 3\sqrt{7}$ のとき,
$AE \cdot AC = \dfrac{8}{7} AE^2 = \dfrac{8}{7} \left(3\sqrt{7} \right)^2 =72$

→ケコ=12, サシ=72

また, $AG \cdot AB = 6 \cdot 12 = 72$ より,
$AE \cdot AC = AG \cdot AB$
$\therefore$ 方べきの定理の逆より,
4点G, B, C, Eは同一円上にある
$\therefore \angle{AEG} = \angle{GBC} = \angle{ABC}$
→ス=2

ココマス

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