2019年度　センター試験　数学I・数学A　第1問

〔1〕
$9a^{2}-6a+1=(3a-1)^{2}$
→ア=3, イ=1

$\therefore A=\sqrt{9a^{2}-6a+1}+|a+2|=|3a-1|+|a+2|$

(i) $a>\dfrac{1}{3}$ のとき
$3a-1>0,a+2>0$
$\therefore A=(3a-1)+(a+2)=4a+1$
→ウ=4, エ=1

(ii) $-2\leqq a \leqq \dfrac{1}{3}$ のとき
$3a-1\leqq 0, a+2\geqq 0$
$\therefore A=-(3a-1)+(a+2)=-2a+3$
→オカ=-2, キ=3

(iii) $a<-2$ のとき
$3a-1<0, a+2<0$
$\therefore A=-(3a-1)-(a+2)=-4a-1$

(i)のとき, $A=2a+13=4a+1\Leftrightarrow a=6>\dfrac{1}{3}$

(ii)のとき, $A=2a+13=-2a+3\Leftrightarrow a=-\dfrac{5}{2}<-2$

(iii)のとき, $A=2a+13=-4a-1\Leftrightarrow a=-\dfrac{7}{3}<-2$

$\therefore a=6, -\dfrac{7}{3}$
→ク=6, ケコ=-7, サ=3

〔2〕
(1)
$\bar{p} \Leftrightarrow m, n$ のいずれか一方は偶数である

このとき、 $m$ が奇数 $\Rightarrow n$ は偶数である

また、 $m$ が偶数 $\Rightarrow n$ は偶数でも奇数でもよい
→シ=0, ス=2

(2)
$q\Leftrightarrow 3mn$ は奇数である $\Leftrightarrow mn$ は奇数である
$\Leftrightarrow m,n$ はともに奇数である $\Leftrightarrow p$

$\therefore p$ は $q$ であるための必要十分条件
→セ=0
$r\Leftrightarrow m+5n$ は偶数である $\Leftrightarrow m+n$ は偶数である

$p\Rightarrow r$ は真、 $r\Rightarrow p$ は偽（反例： $m=n=0$ ）

$\therefore p$ は $r$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない
→ソ=2
$\bar{p}\Rightarrow r$ は偽（反例： $m=1, n=0$ ）

$r \Rightarrow \bar{p}$ も偽（反例： $m=n=1$ ）

$\therefore \bar{p}$ は $r$ であるための必要条件でも十分条件でもない
→タ=3

〔3〕
(1)
$y=x^{2}+(2a-b)x+a^{2}+1$
$=x^{2}-2\left( \dfrac{b}{2}-a\right) x+a^{2}+1$
$={x-\left( \dfrac{b}{2}-a\right) }^2-\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1$
$\therefore \left(\dfrac{b}{2}-a, -\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1\right)$
→チ=2, ツ=4, テ=1

(2)
$y=x^{2}+(2a-b)x+a^{2}+1$ に $(x,y)=(-1, 6)$ を代入して,

$6=1-2a+b+a^{2}+1\Leftrightarrow b=-a^{2}+2a+4=-(a-1)^2+5\leqq 5$
これが最大値をとるのは $a=1$ のとき
→ト=5, ナ=1

このとき, $\left(\dfrac{b}{2}-a, -\dfrac{b^{2}}{4}+ab+1\right)=\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{4}\right)$

$\therefore$ グラフ $G$ は $y=x^{2}$ を $x$ 軸方向に $\dfrac{3}{2}$ , $y$ 軸方向に $-\dfrac{1}{4}$ だけ平行移動したもの
→ニ=3, ヌ=2, ネノ=-1, ハ=4

ココマス

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