ポアソン分布 - ココマス

単位時間当たり平均 $\lambda (\lambda \ge 0$ )回起こる事象がちょうど $k$ 回発生する確率を $P(X=k)$ とおくと、

$P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$

と表せる。
この $X$ が従う確率分布をポアソン分布 (poisson distribution) といい、 $Po(\lambda)$ と表される。
このとき、

1． $X$ の平均 $E[X]$ 及び分散 $V[X]$ は以下の通り。

$E[X]=\lambda$
$V[X]=\lambda$

【証明の前に】
ポアソン分布で重要なのは以下の式

$\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}= e^{\lambda}$

【証明】
$E[X]$
$=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0} k\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$
$=e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1} k\dfrac{\lambda^{k}}{k!}$
$=\lambda e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1} \dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$
$=\lambda e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k'=0} \dfrac{\lambda^{k'}}{k'!}$
$=\lambda e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}$
$=\lambda$

$E[X(X-1)]$
$=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0} k(k-1)\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$
$=e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k=2} k(k-1)\dfrac{\lambda^{k}}{k!}$
$=\lambda^{2} e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k=2} \dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}$
$=\lambda^{2} e^{-\lambda}\displaystyle \sum^{\infty}_{k'=0} \dfrac{\lambda^{k'}}{k'!}$
$=\lambda^{2} e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}$
$=\lambda^{2}$

$V[X]$
$=E[X(X-1)]+E[X]-\left\{E[X]\right\}^2$
$=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}$
$=\lambda$

2．二項分布において $np=\lambda$ 、 $n\rightarrow \infty$ とすればポアソン分布となる

【証明の前に】
重要なのは以下の式

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{c}{n}\right)^{n}=e^{c}$

【証明】
${}_n C_k p^{k} (1-p)^{n-k}$
$=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$
$=\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\cdot 1\cdot \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\cdot \left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)$
$\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$