ココマス

数学・算数関連を気ままに

2019年度　センター試験　数学II・数学B　第4問

センター試験

(1)
\vec{a}\cdot \vec{c}=0より,
\angle{\rm{AOC}}=90^{\circ}
\therefore \triangle{\rm{OAC}}=\dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}
→アイ=90, ウ=5, エ=2

(2)
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\vec{\rm{BA}}\cdot \vec{\rm{BC}}=\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot \left(\vec{c}-\vec{b}\right)=\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot \vec{c}+\left|\vec{b}\right|^{2}=0-1-3+3=-1
\left|\vec{\rm{BA}}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}=1-2\cdot 1+3=2
\therefore \left|\vec{\rm{BA}}\right|=\sqrt{2}
\left|\vec{\rm{BC}}\right|^2=\left|\vec{b}\right|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\left|\vec{c}\right|^{2}=3-2\cdot 3+5=2
\therefore \left|\vec{\rm{BA}}\right|=\sqrt{2}
\therefore \cos{\angle{\rm{ABC}}}=\dfrac{\vec{\rm{BA}}\cdot\vec{\rm{BC}}}{\left|\vec{\rm{BA}}\right| \left|\vec{\rm{BC}}\right|}=-\dfrac{1}{2}
\therefore{\angle{\rm{ABC}}}=120^{\circ}
ADとBCは平行だから,
\angle{\rm{BAD}}=\angle{\rm{ADC}}=60^{\circ}
\therefore \vec{\rm{AD}}=2\vec{\rm{BC}}
\vec{\rm{OD}}=\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}
四角形ABCDの面積は1辺が\sqrt{2}の正三角形3つ分だから,
\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left(\sqrt{2}\right)^{2}\cdot 3=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
→オカ=-1, キ=2, ク=2, ケコサ=120, シス=60, セ=2, ソ=2, タ=2, チ=3, ツ=3, テ=2

(3)
\vec{\rm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{c}とおくと,
\vec{\rm{BH}}\cdot \vec{a}=\vec{\rm{BH}}\cdot \vec{c}=0より,
(s\vec{a}-\vec{b}+t\vec{c})\cdot \vec{a}=s-1=0\Leftrightarrow s=1
(s\vec{a}-\vec{b}+t\vec{c})\cdot \vec{c}=-3+5t=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{5}
\therefore \vec{\rm{BH}}=\vec{a}-\vec{b}+\dfrac{3}{5}\vec{c}
\left|\vec{\rm{BH}}\right|^{2} =\left|\vec{a}\right|^{2}+\left|\vec{b}\right|^{2}+\dfrac{9}{25}\left|\vec{c}\right|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}-\dfrac{6}{5}\vec{b}\cdot\vec{c}+\dfrac{6}{5}\vec{a}\cdot\vec{c} =1+3+\dfrac{9}{5}-2-\dfrac{18}{5}=\dfrac{1}{5}
\therefore \left|\vec{\rm{BH}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}
\therefore V=\dfrac{1}{3}\cdot \triangle{\rm{AOC}}\cdot \left|\vec{\rm{BH}}\right|=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1}{6}
→ト=0, ナ=1, ニ=3, ヌ=5, ネ=5, ノ=5, ハ=1, ヒ=6

(4)
3点\rm{O, A, C}の定める平面 \alpha上に
点\rm{I}を \vec{\rm{DI}}と\vec{\rm{BH}}が平行になるようにとると,
\vec{\rm{DI}}=k\vec{\rm{BH}}とおける(kは実数)
両辺を\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}で表したときの\vec{b}の係数を比較して,
2=-k\Leftrightarrow k=-2
よって, 三角錐 \rm{DOAC}の体積は
V\dfrac{\left|\vec{\rm{DI}}\right|}{\left|\vec{\rm{BH}}\right|}=|k|V=2V
\therefore四角錐\rm{OABCD}の体積は
V+2V=3V
四角形\rm{ABCD}を底面とする四角錐\rm{OABCD}の高さをhとおくと(hは実数),
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot h=3V=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}
→フ=3, へ=3, ホ=3