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数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学I　第3問

センター試験

(1)
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余弦定理より，
\cos {\angle\mathrm{BAC}}=\dfrac{6^{2}+3^{2}-(\sqrt{21})^{2}}{2\cdot 6 \cdot 3}=\dfrac{2}{3}
\sin {\angle\mathrm{BAC}}＞0より，
\sin {\angle\mathrm{BAC}}=\sqrt{1-\cos ^2 {\angle\mathrm{BAC}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
→ア＝2，イ＝3，ウ＝5，エ＝3

(2)
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\mathrm{AH}=\mathrm{AC}\cos{\angle{\mathrm{BAC}}}=2
\mathrm{CH}=\mathrm{AC}\sin{\angle{\mathrm{BAC}}}=\sqrt{5}
→オ＝2，カ＝5

\triangle{\mathrm{AHD}}は直角二等辺三角形より，
\mathrm{AD}=\sqrt{2}\mathrm{AH}=2\sqrt{2}
\mathrm{CD}=\mathrm{CH}-\mathrm{DH}=\sqrt{5}-2
よって，
\triangle{\mathrm{ACD}}=\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{AH}=\dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt{5}-2)\cdot 2=\sqrt{5}-2
キ＝2，ク＝2，ケ＝5，コ＝2
\triangle{\mathrm{ACD}}=\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{CA}\cdot \mathrm{DA}\sin{\angle{\mathrm{CAD}}}=\sqrt{5}-2
\iff \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot2\sqrt{2}\sin{\angle{\mathrm{CAD}}}=\sqrt{5}-2
\iff \sin{\angle{\mathrm{CAD}}}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{6}
\triangle{\mathrm{ACD}}の外接円の半径を Rとおくと，
R=\dfrac{\mathrm{CD}}{2\sin{\angle{\mathrm{CAD}}}}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}
サ＝5，シ＝2，スセ＝10，ソ＝2，タ＝2，チ＝6，ツ＝3，テ＝2，ト＝2

\dfrac{\triangle{\mathrm{ACF}}}{\triangle{\mathrm{AEF}}}=\dfrac{\mathrm{AC}\cdot\mathrm{AF}\cdot\sin{\angle{\mathrm{CAD}}}}{\mathrm{AE}\cdot\mathrm{AF}\cdot\sin{\angle{\mathrm{EAF}}}}
=\dfrac{\mathrm{AC}\cdot\sin{\angle{\mathrm{CAD}}}}{\mathrm{AE}\cdot\sin{45^{\circ}}}
=\dfrac{3\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{3\sqrt{2}}}{\frac{3}{\sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{3}
→ナ＝5，ニ＝2，ヌ＝3