ココマス

数学・算数関連を気ままに

平成28年度 都立高校入試 数学 大問4

東京都立高校入試

〔問1〕
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四角形ABCDは平行四辺形だから，
\angle{\mathrm{BAD}}=180^{\circ}-\angle{\mathrm{ABC}}=120^{\circ}
また，平行線の錯角は等しいから，
\angle{\mathrm{BAC}}=\angle{\mathrm{DCA}}=75^{\circ}
よって，
\angle{\mathrm{CAD}}=\angle{\mathrm{BAD}}-\angle{\mathrm{BAC}}=120^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}
したがって，
\angle{\mathrm{CQD}}=\angle{\mathrm{CAD}}+\angle{\mathrm{ADP}}=(a+45)^{\circ} →エ

〔問2〕
①
f:id:coco_math_1801:20180127160401j:plain:w250
\triangle{\mathrm{AQR}}と \triangle{\mathrm{CQP}}において
\mathrm{AR}//\mathrm{PC} より平行線の錯角は等しいから，
\angle{\mathrm{ARQ}}=\angle{\mathrm{CPQ}}\cdots(1)
対頂角は等しいから，
\angle{\mathrm{AQR}}=\angle{\mathrm{CQP} \cdots}(2)

(1)，(2)より，2組の角がそれぞれ等しいから，
\triangle{\mathrm{AQR}}∽ \triangle{\mathrm{CQP}}

② \mathrm{AP}//\mathrm{DC}より，
\mathrm{PQ}:\mathrm{QD}=\mathrm{AP}:\mathrm{CD}=\mathrm{AP}:\mathrm{AB}=2:(2+1)=2:3=6:9
\mathrm{PR}:\mathrm{RD}=\mathrm{AP}:\mathrm{SD}=\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1=10:5
よって，
\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RD}=6:4:5
したがって，
\triangle{\mathrm{AQR}}=\dfrac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PD}} \times \triangle{\mathrm{APD}}=\dfrac{4}{\mathrm{15}}\triangle{\mathrm{APD}}=\dfrac{4}{\mathrm{15}} \times \triangle{\mathrm{APC}}
=\dfrac{4}{\mathrm{15}} \times \dfrac{1}{2} \times (\mathrm{四角形APCS})=\dfrac{2}{\mathrm{15}} \times (\mathrm{四角形APCS})
→い=2，うえ＝15