ココマス

数学・算数関連を気ままに

2018年度　センター試験　数学I・数学A　第5問

センター試験

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三平方の定理より，
\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{5}
\angle{\mathrm{BAD}}=\angle{\mathrm{CAD}}=45^{\circ}より， \mathrm{BD}=xとおくと，
\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}
\iff 2:1=x:(\sqrt{5}-x) \iff x=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}
→ア＝2，イ＝5，ウ＝3
方べきの定理より，
\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{BD}^2=\dfrac{20}{9}
→エオ＝20，カ＝9
\mathrm{AB}=2より，
\mathrm{BE}=\dfrac{\mathrm{BD}^2}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\dfrac{20}{9}}{2}=\dfrac{10}{9}
→キク＝10，ケ＝9

\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}=\dfrac{\dfrac{10}{9}}{\sqrt{5}-\dfrac{2\sqrt{5}}{3}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}

\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
よって，
\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}＞\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}

したがって，直線 \mathrm{AC}と直線 \mathrm{DE}の交点は
辺 \mathrm{AC}の端点 \mathrm{C}の側の延長線にある
→コ＝2，→サ＝4
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メネラウスの定理より，
\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DB}} \cdot \dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EA}}=1
\iff \dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\dfrac{10}{9}}{\dfrac{8}{9}}
\iff \dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=\dfrac{5}{8}
よって，
\mathrm{CF}=\mathrm{AC}\times \dfrac{5}{8-5}=\dfrac{5}{3}
→シ＝5，ス＝8，セ＝5，ソ＝3

三平方の定理より，
\mathrm{BF}=\sqrt{\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{AB}^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2}+2^{2}}=\dfrac{10}{3}
よって，
\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}=\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AB}}
これより，
\angle{\mathrm{FBC}}=\angle{\mathrm{ABC}}
また，
\angle{\mathrm{BAD}}=\angle{\mathrm{FAD}}
したがって，点Dは \triangle{\mathrm{ABF}}の内心である
→タ＝1